函数方程和函数不等式

前言

方程和不等式

在初中，我们称\(x^2-3x+2=0\)为方程，称\(x^2-3x+2\leqslant 0\)为不等式。而高中阶段的方程和不等式中往往会渗透函数，故引出函数方程和函数不等式。

函数方程

比如，给定函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，0<x<1}\\{2(x-1)，x\ge 1}\end{array}\right.\)，若\(f(a)=f(a+1)\)，求\(f(\cfrac{1}{a})\)的值，则这样的方程\(f(a)=f(a+1)\)我们称为函数方程。求解函数方程时要么用到其解析式[大多情形下]，要么用到单调性[很少]。

例2 【2019届高三理科函数及其表示课时作业第18题】设函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，0<x<1}\\{2(x-1)，x\ge 1}\end{array}\right.\)，若\(f(a)=f(a+1)\)，求\(f(\cfrac{1}{a})\)的值_________。

分析：当\(0<a<1\)时，\(a+1>1\)，

则\(f(a)=f(a+1)\)变形为\(\sqrt{a}=2[(a+1)-1]\)，即\(\sqrt{a}=2a\)，

解得\(a=0\)(舍去)或\(a=\cfrac{1}{4}\)；

当\(a\ge 1\)时，\(a+1\ge 2\)，

则\(f(a)=f(a+1)\)变形为\(2(a-1)=2[(a+1)-1]\)，解得\(a\in \varnothing\)，

综上，\(a=\cfrac{1}{4}\)，

故有\(f(\cfrac{1}{a})=f(4)=2(4-1)=6\)

函数不等式

比如，已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x，x\leqslant 0}\\{ln(x+1)，x>0，}\end{array}\right.\) 若\(f(2-x^2)>f(x)\)，求\(x\)的范围。则不等式\(f(2-x^2)\)\(>f(x)\)称为函数不等式。求解函数不等式时常常要用到函数的相关性质[比如定义域，单调性，奇偶性等]，此时给定的解析式仅仅是为了得到相关的性质。

例11 【2017\(\cdot\)榆林模拟】函数\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，则不等式\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)的解集是【】

$A.(\sqrt{3}，2)$ $B.(-3，2)$ $C.(1，2)$ $D.(\sqrt{3}，\sqrt{5})$

分析：这类题目往往需要取得符号\(f\)，而在此之前，需要转化为\(f(M)<( 或>)f(N)\)的形式，

然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。

解析：先求定义域，令\(\cfrac{1+x}{1-x}>0\)，解得定义域\((-1，1)\)；

再求奇偶性，由于\(f(-x)=ln\cfrac{1-x}{1+x}-sinx\)，\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，

所以\(f(-x)+f(x)=0\)，故函数为奇函数；最后分析单调性，

法一，基本函数法，令\(g(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-\cfrac{2}{x-1})\)，由于\(u=-1-\cfrac{2}{x-1}\)为增函数，

所以函数\(g(x)\)为增函数，故函数\(f(x)=g(x)+sinx\)为\((-1，1)\)上的增函数，

法二，导数法，\(f'(x)=\cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0\)，故函数\(f(x)\)为\((-1，1)\)上的增函数，

到此需要的性质基本备齐了[定义域，单调性，奇偶性]，

由\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)，

变换得到\(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2)\)，

由定义域和单调性得到以下不等式组：\(\begin{cases}-1<a-2<1\\ -1<a^2-4<1 \\a-2<4-a^2 \end{cases}\)，

解得\(\sqrt{3}<a<2\)，故选\(A\)。