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組合數公式：
一、關於卡特蘭數
卡特蘭數是一種經典的組合數，經常出現在各種計算中，其前幾項為 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
二、卡特蘭數的一般公式
卡特蘭數滿足以下性質：
令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式。h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)。也就是說，如果能把公式化成上面這種形式的數，就是卡特蘭數。
當然，上面這樣的遞推公式太繁瑣了，於是數學家們又求出了可以快速計算的通項公式。h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)。這個公式還可以更簡單得化為h(n)=C(2n,n)/(n+1)。后一個公式都可以通過前一個公式經過幾步簡單的演算得來，大家可以拿起筆試試，一兩分鍾就可以搞定。
1. 出棧次序
2. 01序列
3. ‘+1’ ‘-1’序列
4. 括號序列
5. 找零問題
6. 矩陣鏈乘
7. 二叉樹計數
8. 凸多邊形划分
9. 圓上n條線段
10. 單調路徑
11. 填充階梯圖形
12. 摞碗問題
13. 汽車胡同加油問題
14. 還書借書問題
15. 高矮排隊問題
典例：
1. 出棧次序
一個棧(無窮大)的進棧序列為1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧序列?
2. 01序列
給出一個n，要求一個長度為2n的01序列，使得序列的任意前綴中1的個數不少於0的個數， 有多少個不同的01序列?
以下為長度為6的序列:
111000 101100 101010 110010 110100
3. ‘+1’ ‘-1’序列
n個+1和n個-1構成的2n項 a1,a2,⋅⋅⋅,a2na1,a2,⋅⋅⋅,a2n，其部分和滿足非負性質，即a1+a2+⋅⋅⋅+ak>=0a1+a2+⋅⋅⋅+ak>=0，(k=1,2,···,2n) ，有多少個不同的此序列?
4. 括號序列
n對括號有多少種匹配方式？
5. 找零問題
2n個人要買票價為五元的電影票，每人只買一張，但是售票員沒有錢找零。其中，n個人持有五元，另外n個人持有十元，問在不發生找零困難的情況下，有多少種排隊方法？
6. 矩陣鏈乘
P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？
7. 二叉樹計數
有n個節點構成的二叉樹（非葉子節點都有2個兒子），共有多少種情形？
有n+1個葉子的二叉樹的個數？、
8. 凸多邊形划分
在一個n邊形中，通過不相交於n邊形內部的對角線，把n邊形拆分為若干個三角形，問有多少種拆分方案？
9. 圓上n條線段
在圓上選擇2n個點，將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數？
10. 單調路徑
一位大城市的律師在他住所以北n個街區和以東n個街區處工作，每天他走2n個街區去上班。如果他從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那么有多少條可能的道路？
11. 填充階梯圖形
用n個長方形填充一個高度為n的階梯狀圖形的方法個數？
12. 摞碗問題
飯后，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗過的碗一個一個放進碗櫥摞成一摞。一共有n個不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也許因為小妹貪玩而使碗拿進碗櫥不及時，姐姐則把洗過的碗摞在旁邊，問：小妹摞起的碗有多少種可能的方式？
13. 汽車胡同加油問題
一個汽車隊在狹窄的路面上行駛，不得超車，但可以進入一個死胡同去加油，然后再插隊行駛，共有n輛汽車，問共有多少種不同的方式使得車隊開出城去？
14. 還書借書問題
在圖書館一共2n個人在排隊，n個還《面試寶典》一書，n個在借《面試寶典》一書，圖書館此時沒有了面試寶典了，求他們排隊的總數
15. 高矮排隊問題
2n個高矮不同的人,排成兩排,每排必須是從矮到高排列,而且第二排比對應的第一排的人高,問排列方式有多少種?