一、卡特蘭數(Catalan number)
1.定義
組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列(用c表示)。以比利時的數學家歐仁·查理·卡特蘭的名字來命名；
2.計算公式
(1)遞推公式
c[n]=Σ(0≤k<n)c[k]c[n-k-1]，邊界條件為c[0]=1;
其遞推解為c[n]=C(2n,n)/(n+1)，即卡特蘭數的通項公式，其中C表示數的組合；
根據組合公式我們可以化簡得c[n]=2n(2n-1).....(n+2)/n!;
(2)另類遞推式
c[n]=c[n-1](4n-2)/(n+1)，邊界條件為c[0]=1;
其遞推解為c[n]=C(2n,n)-C(2n,n-1),C表示數的組合；
(3)其他公式
c[n]=(Σ(0≤i≤n)C(i,n)^2)/(n+1);
ps：通過展開可以發現它們的本質是一樣的；
3.簡單應用
(1)求解路徑方案數：如圖所示，從原點(0,0)到點B(n,n)，只能向右或向上進行長度為一個單位的移動，路線一直處於y=x之下（不越過直線y=x）的不同路徑方案數；
Solution：每個n的解都可以看做先前的解數（再向右向上即為所求）加上不觸及各個y=x上的點到達B點的方案數，可以發現其遞推公式即為卡特蘭數計算公式；
(2)求01串的個數：n個0與n個1構成的序列方案數，使得任何一個前綴0的個數不少於1的個數；
Solution：將0看做在坐標系中向右走一步，1看做向上走一步，則問題可化簡為從原點到(n,n)所有路線中一直處於y=x之下（不越過直線y=x）的不同路徑方案數，與上題相同，方案數即為對應n的卡特蘭數；
(3)給定節點求解二叉樹的個數：已知由n個節點，求形成不同的二叉樹有多少種？
Solution：將向左生成子樹看做0，向右生成字數看成1，則問題化簡為求n/2個0和n/2個1構成數串的不同方案數，即上題無條件解的一半，與上題答案相同，形成不同的樹的個數即為對應n的卡特蘭數；
(4)求凸邊形進行三角剖分的不同方案數：在一個有n+3條邊的凸多邊形中，求通過若干條互不相交的對角線，把這個多邊形划分成若干個三角形的不同方案數。
Solution：因為每一條邊都一定是剖分后的三角形的一條邊，任意一條邊都會把多邊形分成兩個小多邊形，那么根據乘法原理，解即為划分成不同多邊形的方案數對應小多邊形的划分方案數之和，即f[n]=Σ(3≤k≤n-3)f[k]f[n-k-1]，可以發現解數即為n對應的卡特蘭數；
(5)n對括號正確匹配數目:給定n對括號，求括號正確配對的字符串數;
Solution：因為是匹配問題，那么最后一個左括號必然有唯一右括號與其匹配，假設f[n]為n對括號的正確配對數目，那么有遞推關系f[n]=f[0]f[n-1]+f[1]f[n-2]+...+f[n-1]f[0]，顯然f[n]是n對應的卡特蘭數。
4.卡特蘭數的擴展（折線原理）
對於在n位的2進制中，有m個0，其余為1的catalan數為：C(n,m)-C(n,m-1)。其可由應用(1)證明；
二、相關應用
1.[NOIP2003]棧
題解隨筆：http://www.cnblogs.com/COLIN-LIGHTNING/p/8481413.html
2.[洛谷P1722]矩陣II
Description
給定一個長度為2n的數列，現讓你自由地放入紅色算籌和黑色算籌，求對於所有的i(1<=i<=2n)，使第1~i格中紅色算籌個數大於等於黑色算籌的方案數；
輸入：n
輸出：對100取模后的方案數；
Solution
1.將紅看做入棧操作，黑看為出棧操作，問題即為求不同的合法的入棧出棧序個數；
2.那么解法與上題相同，易得解即為對應的卡特蘭數；
3.我們可以考慮用遞推式(1)求卡特蘭數，取模更容易；
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
unsigned long long ctl[110],i,j,k,n;
memset(ctl,0,sizeof(ctl));
ctl[0]=ctl[1]=1;
ctl[2]=2;
scanf("%d",&n);
for(i=3;i<=n;++i)
for(j=0;j<i;++j){
ctl[i]+=ctl[j]*ctl[i-j-1];
ctl[i]%=100;
}
printf("%d\n",ctl[n]);
return 0;
}
3.[洛谷P1976]雞蛋餅
Description
最近小 x 又發現了一個關於圓的有趣的問題：在圓上有2N 個不同的點，小 x 想用 N 條線段把這些點連接起來（每個點只能連一條線段）， 使所有的線段都不想交，他想知道這樣的連接方案有多少種？
輸入輸出格式
輸入格式：有且僅有一個正整數 N
輸出格式：要求的方案數（結果 mod 100000007）。
Solution
1.可將問題化簡為求n+3邊形進行三角剖分的方案數，解法就顯而易見了；
2.對1e8+7取模可以考慮使用遞推公式（1）解決；
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
unsigned long long ctl[32768],i,j,k,n;
memset(ctl,0,sizeof(ctl));
ctl[0]=ctl[1]=1;
ctl[2]=2;
scanf("%d",&n);
for(i=3;i<=n;++i)
for(j=0;j<i;++j){
ctl[i]+=ctl[j]*ctl[i-j-1];
ctl[i]%=100000007;
}
printf("%d\n",ctl[n]);
return 0;
}