ACM數論-卡特蘭數Catalan

Catalan

---

 

原理：

　　令h(0)=1,h(1)=1,catalan 數滿足遞歸式：

　　　　　　　　(其中n>=2)

　　另類遞推公式：

　　　　　　

　　該遞推關系的解為：

　　　　　　　　(n=1,2,3,...)

　　卡特蘭數的應用實質上都是遞歸等式的應用

　　前幾項為：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

應用：

 

問題描述:
　　12個高矮不同的人，排成兩排，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對應的第一排的人高，問排列方式有多少種？

問題分析:
　　我們先把這12個人從低到高排列,然后,選擇6個人排在第一排,那么剩下的6個肯定是在第二排.
用0表示對應的人在第一排,用1表示對應的人在第二排,那么含有6個0,6個1的序列,就對應一種方案.
比如000000111111就對應着
第一排：0 1 2 3 4 5
第二排：6 7 8 9 10 11
010101010101就對應着
第一排：0 2 4 6 8 10
第二排：1 3 5 7 9 11
問題轉換為，這樣的滿足條件的01序列有多少個。
觀察1的出現，我們考慮這一個出現能不能放在第二排，顯然，在這個1之前出現的那些0,1對應的人
要么是在這個1左邊，要么是在這個1前面。而肯定要有一個0的，在這個1前面，統計在這個1之前的0和1的個數。
也就是要求，0的個數大於1的個數。

如果把0看成入棧操作，1看成出棧操作，就是說給定6個元素，合法的入棧出棧序列有多少個。
這就是catalan數,這里只是用於棧，等價地描述還有，二叉樹的枚舉、多邊形分成三角形的個數、圓括弧插入公式中的方法數，其通項是c(2n, n)/(n+1)。

 

在<<計算機程序設計藝術>>，第三版，Donald E.Knuth著，蘇運霖譯，第一卷，508頁，給出了證明:
問題大意是用S表示入棧，X表示出棧，那么合法的序列有多少個(S的個數為n)
顯然有c(2n, n)個含S，X各n個的序列，剩下的是計算不允許的序列數(它包含正確個數的S和X，但是違背其它條件)。
在任何不允許的序列中，定出使得X的個數超過S的個數的第一個X的位置。然后在導致並包括這個X的部分序列中，以S代替所有的X並以X代表所有的S。結果是一個有(n+1)個S和(n-1)個X的序列。反過來，對一垢一種類型的每個序列，我們都能逆轉這個過程，而且找出導致它的前一種類型的不允許序列。例如XXSXSSSXXSSS必然來自SSXSXXXXXSSS。這個對應說明，不允許的序列的個數是c(2n, n-1)，因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1)。

c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1)

 

證明：

 

令1表示進棧，0表示出棧，則可轉化為求一個2n位、含n個1、n個0的二進制數，滿足從左往右掃描到任意一位時，經過的0數不多於1數。顯然含n個1、n個0的2n位二進制數共有個，下面考慮不滿足要求的數目.

 

考慮一個含n個1、n個0的2n位二進制數，掃描到第2m+1位上時有m+1個0和m個1（容易證明一定存在這樣的情況），則后面的0-1排列中必有n-m個1和n-m-1個0。將2m+2及其以后的部分0變成1、1變成0，則對應一個n+1個0和n-1個1的二進制數。反之亦然（相似的思路證明兩者一一對應）。

 

從而。

 

Catalan 典型應用：

1、括號化問題。矩陣鏈乘： P=A1×A2×A3×……×An，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？

   一個有n個X和n個Y組成的字串，且所有的部分字串皆滿足X的個數大於等於Y的個數。以下為長度為6的dyck words:
                            XXXYYY     XYXXYY    XYXYXY    XXYYXY    XXYXYY
    將上例的X換成左括號，Y換成右括號，Cn表示所有包含n組括號的合法運算式的個數：
                         ((()))     ()(())      ()()()      (())()      (()())

2、將多邊行划分為三角形問題。將一個凸多邊形區域分成三角形區域(划分線不交叉)的方法數?

 

　　一個凸多邊形區域，有N條邊，將其划分為三角形區域，問共有多少種分割方法。

 

　　（1）我們從最簡單情況開始：N=3，f(3)=1;

 

　　　　

 

　　（2）當N=4，f(4)=2；

 

　　　　

 

　　（3）N邊時

 

　　　　

　　　　我們從節點1開始考慮，要想分割成三角形區域，1不能和與它相鄰的點連接，所以1可以　　　連接3,4,...,N-1;

　　　　假設1連接i,則分割成的兩個區域分別為i凸多邊形和N+2-i凸多邊形，即對於節點1,f1(N)=f(3)f(N+2-3)+f(4)f(N+2-4)+...+f(N-1)f(3);

　　　　N多邊形共N個點，對應於每個點有f1(N)中分割方法，總的分割方法為f(N)=Nf1(N),但是每增加一條邊，其連接兩個點，所以在f(N)中有

　　　　一半是重復情況，所以最終的分割方法為：

　　　　　　　

 

類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?

3、出棧次序問題。一個棧(無窮大)的進棧序列為1、2、3、...、n，有多少個不同的出棧序列?
類似：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)

類似：一位大城市的律師在他住所以北n個街區和以東n個街區處工作，每天她走2n個街區去上班。如果他從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那么有多少條可能的道路？

分析：對於每一個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把進棧設為狀態‘1’，出棧設為狀態‘0’。n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進制數。由於等待入棧的操作數按照1‥n的順序排列、入棧的操作數b大於等於出棧的操作數a(a≤b)，因此輸出序列的總數目=由左而右掃描由n個1和n個0組成的2n位二進制數，1的累計數不小於0的累計數的方案種數。

4、給頂節點組成二叉樹的問題。
　　給定N個節點，能構成多少種形狀不同的二叉樹？

 　　(1)n=0時，f(0)=1；

 　　(2)n=1時，f(1)=1；

 　　(3)n=2時，f(2)=4；

 　　(4) f(N)=N(f(0)f(N-1)+f(1)f(N-2)+...+f(i)f(N-1-i)+...+f(N-1)f(0));采用遞歸的思想，f(i)f(N-1-i)中f(i)表示左子樹有i個節點可構造的二叉樹數目，f(N-1-i)表示右子樹有N-1-i個節點可構造的二叉樹數目；

　　兩者相乘表示左右分別為i,N-1-i個節點時候這個大的二叉樹的構造數目，又由於根節點的選擇有N中選擇方法，所以可得總的構造方法數目如式。

 

　　(一定是二叉樹！先取一個點作為頂點，然后左邊依次可以取0至N-1個相對應的，右邊是N-1到0個，兩兩配對相乘，就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ...... + h(n-1)h(0)=h(n))   （能構成h（N）個）

       在2n位二進制數中填入n個1的方案數為c(2n,n)，不填1的其余n位自動填0。從中減去不符合要求（由左而右掃描，0的累計數大於1的累計數）的方案數即為所求。
       不符合要求的數的特征是由左而右掃描時，必然在某一奇數位2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此后的2(n-m)-1位上有n-m個 1和n-m-1個0。如若把后面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應於一個由n+1個0和n-1個1組成的排列。
       反過來，任何一個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進制數，由於0的個數多2個，2n為偶數，故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在后面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應一個不符合要求的數。
因而不合要求的2n位數與n＋1個0，n－1個1組成的排列一一對應。
顯然，不符合要求的方案數為c(2n,n+1)。由此得出輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。
（這個公式的下標是從h(0)=1開始的）

 

//大數&&Catalan
/*
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012,
742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,
 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324,
  4861946401452, …
*/
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 9999
#define MAXSIZE 10
#define DLEN 4

class BigNum
{
private:
    int a[500];    //可以控制大數的位數
    int len;       //大數長度
public:
    BigNum(){ len = 1;memset(a,0,sizeof(a)); }   //構造函數
    BigNum(const int);       //將一個int類型的變量轉化為大數
    BigNum(const char*);     //將一個字符串類型的變量轉化為大數
    BigNum(const BigNum &);  //拷貝構造函數
    BigNum &operator=(const BigNum &);   //重載賦值運算符，大數之間進行賦值運算

    friend istream& operator>>(istream&,  BigNum&);   //重載輸入運算符
    friend ostream& operator<<(ostream&,  BigNum&);   //重載輸出運算符

    BigNum operator+(const BigNum &) const;   //重載加法運算符，兩個大數之間的相加運算
    BigNum operator-(const BigNum &) const;   //重載減法運算符，兩個大數之間的相減運算
    BigNum operator*(const BigNum &) const;   //重載乘法運算符，兩個大數之間的相乘運算
    BigNum operator/(const int   &) const;    //重載除法運算符，大數對一個整數進行相除運算

    BigNum operator^(const int  &) const;    //大數的n次方運算
    int    operator%(const int  &) const;    //大數對一個int類型的變量進行取模運算
    bool   operator>(const BigNum & T)const;   //大數和另一個大數的大小比較
    bool   operator>(const int & t)const;      //大數和一個int類型的變量的大小比較

    void print();       //輸出大數
};
BigNum::BigNum(const int b)     //將一個int類型的變量轉化為大數
{
    int c,d = b;
    len = 0;
    memset(a,0,sizeof(a));
    while(d > MAXN)
    {
        c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1);
        d = d / (MAXN + 1);
        a[len++] = c;
    }
    a[len++] = d;
}
BigNum::BigNum(const char*s)     //將一個字符串類型的變量轉化為大數
{
    int t,k,index,l,i;
    memset(a,0,sizeof(a));
    l=strlen(s);
    len=l/DLEN;
    if(l%DLEN)
        len++;
    index=0;
    for(i=l-1;i>=0;i-=DLEN)
    {
        t=0;
        k=i-DLEN+1;
        if(k<0)
            k=0;
        for(int j=k;j<=i;j++)
            t=t*10+s[j]-'0';
        a[index++]=t;
    }
}
BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len)  //拷貝構造函數
{
    int i;
    memset(a,0,sizeof(a));
    for(i = 0 ; i < len ; i++)
        a[i] = T.a[i];
}
BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n)   //重載賦值運算符，大數之間進行賦值運算
{
    int i;
    len = n.len;
    memset(a,0,sizeof(a));
    for(i = 0 ; i < len ; i++)
        a[i] = n.a[i];
    return *this;
}
istream& operator>>(istream & in,  BigNum & b)   //重載輸入運算符
{
    char ch[MAXSIZE*4];
    int i = -1;
    in>>ch;
    int l=strlen(ch);
    int count=0,sum=0;
    for(i=l-1;i>=0;)
    {
        sum = 0;
        int t=1;
        for(int j=0;j<4&&i>=0;j++,i--,t*=10)
        {
            sum+=(ch[i]-'0')*t;
        }
        b.a[count]=sum;
        count++;
    }
    b.len =count++;
    return in;

}
ostream& operator<<(ostream& out,  BigNum& b)   //重載輸出運算符
{
    int i;
    cout << b.a[b.len - 1];
    for(i = b.len - 2 ; i >= 0 ; i--)
    {
        cout.width(DLEN);
        cout.fill('0');
        cout << b.a[i];
    }
    return out;
}

BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const   //兩個大數之間的相加運算
{
    BigNum t(*this);
    int i,big;      //位數
    big = T.len > len ? T.len : len;
    for(i = 0 ; i < big ; i++)
    {
        t.a[i] +=T.a[i];
        if(t.a[i] > MAXN)
        {
            t.a[i + 1]++;
            t.a[i] -=MAXN+1;
        }
    }
    if(t.a[big] != 0)
        t.len = big + 1;
    else
        t.len = big;
    return t;
}
BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const   //兩個大數之間的相減運算
{
    int i,j,big;
    bool flag;
    BigNum t1,t2;
    if(*this>T)
    {
        t1=*this;
        t2=T;
        flag=0;
    }
    else
    {
        t1=T;
        t2=*this;
        flag=1;
    }
    big=t1.len;
    for(i = 0 ; i < big ; i++)
    {
        if(t1.a[i] < t2.a[i])
        {
            j = i + 1;
            while(t1.a[j] == 0)
                j++;
            t1.a[j--]--;
            while(j > i)
                t1.a[j--] += MAXN;
            t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i];
        }
        else
            t1.a[i] -= t2.a[i];
    }
    t1.len = big;
    while(t1.a[len - 1] == 0 && t1.len > 1)
    {
        t1.len--;
        big--;
    }
    if(flag)
        t1.a[big-1]=0-t1.a[big-1];
    return t1;
}

BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const   //兩個大數之間的相乘運算
{
    BigNum ret;
    int i,j,up;
    int temp,temp1;
    for(i = 0 ; i < len ; i++)
    {
        up = 0;
        for(j = 0 ; j < T.len ; j++)
        {
            temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up;
            if(temp > MAXN)
            {
                temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1);
                up = temp / (MAXN + 1);
                ret.a[i + j] = temp1;
            }
            else
            {
                up = 0;
                ret.a[i + j] = temp;
            }
        }
        if(up != 0)
            ret.a[i + j] = up;
    }
    ret.len = i + j;
    while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
        ret.len--;
    return ret;
}
BigNum BigNum::operator/(const int & b) const   //大數對一個整數進行相除運算
{
    BigNum ret;
    int i,down = 0;
    for(i = len - 1 ; i >= 0 ; i--)
    {
        ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b;
        down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b;
    }
    ret.len = len;
    while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
        ret.len--;
    return ret;
}
int BigNum::operator %(const int & b) const    //大數對一個int類型的變量進行取模運算
{
    int i,d=0;
    for (i = len-1; i>=0; i--)
    {
        d = ((d * (MAXN+1))% b + a[i])% b;
    }
    return d;
}
BigNum BigNum::operator^(const int & n) const    //大數的n次方運算
{
    BigNum t,ret(1);
    int i;
    if(n<0)
        exit(-1);
    if(n==0)
        return 1;
    if(n==1)
        return *this;
    int m=n;
    while(m>1)
    {
        t=*this;
        for( i=1;i<<1<=m;i<<=1)
        {
            t=t*t;
        }
        m-=i;
        ret=ret*t;
        if(m==1)
            ret=ret*(*this);
    }
    return ret;
}
bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const   //大數和另一個大數的大小比較
{
    int ln;
    if(len > T.len)
        return true;
    else if(len == T.len)
    {
        ln = len - 1;
        while(a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0)
            ln--;
        if(ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln])
            return true;
        else
            return false;
    }
    else
        return false;
}
bool BigNum::operator >(const int & t) const    //大數和一個int類型的變量的大小比較
{
    BigNum b(t);
    return *this>b;
}

void BigNum::print()    //輸出大數
{
    int i;
    cout << a[len - 1];
    for(i = len - 2 ; i >= 0 ; i--)
    {
        cout.width(DLEN);
        cout.fill('0');
        cout << a[i];
    }
    cout << endl;
}
int main()
{
    int i,n;
    BigNum x[101];      //定義大數的對象數組
    x[0]=1;
    for(i=1;i<101;i++)
        x[i]=x[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
    while(scanf("%d",&n)==1 && n!=-1)
    {
        x[n].print();
    }
}