簡介
卡特蘭數是組合數學中的一種常見數列
它的前幾項為：
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670,129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452
公式
遞歸公式1
$f(n)=\sum_{i=0}^{n-1}f(i)*f(n-i-1)$
遞歸公式2
$f(n)=\frac{f(n-1)*(4*n-2)}{n+1}$
組合公式1
$f(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$
組合公式2，重要！重要！重要！
$f(n)=C_{2n}^n-C_{2*n}^{n-1}$
遞推公式
$f[n]=\sum_{i=0}^{n-1}f[i]*f[n-i-1]$
一般在做題的時候，都是利用這個公式進行遞推
證明
不會:stuck_out_tongue_closed_eyes:。（眾人：那你在這瞎bb啥。:triumph:）
這個東西的證明我確實不會
不過我在這里教大家一種非常簡單易懂的記憶方法，
記$f[n]$為卡特蘭數的第$n$項
首先你要明白一件事情
一棵$n$個節點的二叉樹的形態總數，就是卡特蘭數的第$n$項
對於一棵二叉樹，遞歸的考慮
一棵只有一個節點的二叉樹只有一種形態
對於不是一個節點的二叉樹，按照他的左右孩子進行討論
設它的左孩子有$i$個節點，那么它的形態數為$f[i]$
那么它的右孩子有$n-i-1$個節點，那么它的形態數為$f[n-i-1]$
又因為每一個節點都可以作為根節點
所以不難得到遞推式
$f[n]=\sum_{i=0}^{n-1}f[i]*f[n-i-1]$
例題
都是裸題我就不細講了
洛谷P1722 矩陣 II
http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7725346.html
洛谷P1044 棧
洛谷P1976 雞蛋餅
http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7725386.html
總結
卡特蘭數是一種常見的數列
需要每一位選手掌握它的遞推式
卡特蘭數一般不會單獨出現，往往會出現在一些題目的部分分中，如2017某省省選(具體忘記了。)
在考場上，要證明一個東西是卡特蘭數是非常困難的
自己手玩點小數據，只要前幾項吻合，那一般就是卡特蘭數啦