卡特蘭數的證明以及應用

出棧序列計數問題

給定一長為n的序列，各位元素各不相同，那么經過入棧，出棧后，可以得到多少種不同的序列。

這個問題的答案是卡特蘭數C(n)。

卡特蘭數

卡特蘭數是中一個常在各種計數問題中出現的數列。用C(n)表示卡特蘭數第n項，則有通項公式

\[C(n)=C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}=\frac{C_{2n}^n}{n+1}=\frac{(2n)!}{(n+1)!n!} \]

有遞推公式

\[C(0)=1 \qquad and\qquad C(n+1)=\frac{2(2n+1)}{n+2}C(n) \]

證明

長為n的序列，每個元素需要入棧一次，出棧一次，以0表示入棧，1表示出棧。則出入棧操作可以由一個長為2n的01串唯一表示。這個01串需符合以下條件：

1. 其中0與1的數量均為n。

2. 對於任意位置i，[1,i]位置的子串中，出現的1的個數不大於0的個數（棧的性質，未入棧不可出棧）。

可以用容斥原理統計符合條件的01串。

首先易得符合條件1的01串個數為C(2n,n)。

其中不符合條件2的串一定有： 對於某個位置2i+1，[1,2i+1]出現的1的個數為i+1，0的個數為i。

又此串符合條件1，那么剩余位置的0，1個數分別為n-i，n-i-1。

如果將剩余位置的1變為0，0變為1。那么這個串就變成了一個由n-1個0，n+1個1組成的串。

設符合條件1但不符合條件2的串構成集合N，由n-1個0，n+1個1組成的01串構成集合M

由於01互換操作是一個一一映射函數，故M與N之間存在一個一一映射，故M,N元素個數相等（映射的性質）。

故卡特蘭數的通項公式為C(2n,n)-C(2n,n+1)。

這種思想稱為映射計數法。

一些可以用卡特蘭數的問題

1. 從(0,0)到(n,n)的不越過直線y=x的非降路徑數

2. 含n個節點的不同構的二叉樹的數量

3. 凸n+2邊形分割為n個三角形的方法數

4. n對括號排列組成的合法的括號序列個數