問題
有Alice和Bob兩個人，隨機給他們兩個數x和y(0或1)，然后A和B根據他們得到數(x和y)給兩個個數a和b(0或1)。
規則如下：
如果輸入的x和y都是1，那么，Alice和Bob給出不一樣的數獲勝；否則，Alice和Bob給出相同的數獲勝。
Alice和Bob在拿到x和y后就不能交談了，但是在拿到前可以交流。
問：Alice和Bob怎樣約定獲勝的可能性最大？
一共有以下十六中情況：
| x | y | a | b | result |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 贏 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 輸 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 輸 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 贏 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 贏 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 輸 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 輸 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 贏 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 贏 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 輸 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 輸 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 贏 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 輸 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 贏 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 贏 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 輸 |
經典解法
我們可以看到，如果Alice和Bob隨機輸出a和b，即輸出的a和b與輸入的x和y無關，那么他們獲勝了可能性是50%，也就是0.5。
如果有提前約定呢？
當輸入x和y都是0的時候，Alice和Bob可以約定都出0（約定都出1也是一樣的道理），這樣，輸入是（0，0）的25%可能是一定獲勝。
但是當你的輸入是1的時候，你不知道另一個人是的輸入是0還是1。
如果約定出0，即，無論輸入是什么都出0，則，獲勝的可能性是75%，只有輸入是（1，1）時失敗。
如果約定出1，即，輸入什么輸出什么，則獲勝的可能性是25%，只有輸入是（0，0）才獲勝。
如果約定一個出0一個出1（假設A遇1出1，B遇1出0），則成功率75%，只有在輸入是（1，0）時失敗。
綜上，在經典解法中，成功的概率最大是0.75。
量子解法
首先我們給Alice和Bob一對bell態的量子比特（\(|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|++\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|--\rangle\)）
然后他們分別根據自己的輸入對自己量子比特測量，測量結果就是他們的輸出。
測量方式如下：
如果Alice的輸入是0，那么就在\(| 0\rangle\)、\(| 1\rangle\)基測量，如果輸入是1，就在\(| u\rangle\)、\(| u'\rangle\)基測量。
如果Bob的輸入是0，那么就在\(| v\rangle\)、\(| v'\rangle\)基測量，如果輸入是1，就在\(| w\rangle\)、\(| w'\rangle\)基測量。
這樣的獲勝的可能性是多少呢？
如果輸入是（0，0）：因為Alice的輸入是0，所以Alice用\(| 0\rangle\)、\(| 1\rangle\)基測量，測量在不在\(| 0\rangle\)，在的話輸出1，不在輸出0，並且可以知道他在\(| 1\rangle\)。此時，因為Alice和bob的量子是糾纏的，Bob的量子比特也會坍縮到\(| 0\rangle\)或者\(| 1\rangle\)的位置。Bob的輸入也是0，所以Bob要在\(| v\rangle\)、\(| v'\rangle\)基測量，看量子在不在\(| v\rangle\)。如果Alice的量子最終坍縮到了\(| 0\rangle\)，在\(| v\rangle\)測量得到1的概率為\(cos^2\frac{\pi}{8}\)，因為\(| 0\rangle\)和\(| v\rangle\)之間的夾角是\(\frac{\pi}{8}\)，則有\(cos^2\frac{\pi}{8}\)的概率成功，如果Alice的量子坍縮到了\(| 1\rangle\)，則Alice的輸出為0，在在\(| v\rangle\)測量得到1的概率為\(cos^2\frac{3\pi}{8}\)，但是這個時候輸出0才會獲勝，所以成功的概率依舊是\(cos^2\frac{3\pi}{8}\)。
其他輸入的情況，按照上述過程，獲勝的概率也都是\(cos^2\frac{3\pi}{8}\)，則總的獲勝概率是\(cos^2\frac{3\pi}{8} \approx 0.85\)
結論
量子解法的最大成功率 \(>\) 經典解法的最大成功率
量子糾纏存在
參考資料：