前言
一維數軸
- 借助一維數軸來理解\(t\)的幾何意義
我們知道，一維數軸上的點和實數是一一對應的，如圖所示，水平放置的數軸，其上的點\(A\)、\(O\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)分別代表實數\(-2\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)；動點對應的實數標記為\(t\)，那么\(t=2\)就對應點\(C\)，\(t=-2\)就對應點\(A\)，\(t=0\)就對應點\(O\)，\(t=1\)就對應點\(B\)，當變量\(t\)取遍所有的實數，那么動點就能代表數軸上所有的實數。這時候實數\(t\)就是數軸上的動點的一維坐標。
作用：此時若求線段的長度，則線段\(AB=|t_A-t_B|=|-2-1|=3\);線段\(BD=\)\(|t_B-t_D|\)\(=|1-3|\)\(=2\);
究根朔源
如圖所示，已知給定直線\(l\)的傾斜角為\(\theta，\theta\in [0，\pi)\)，且經過定點\(P_0(x_0,y_0)\)，在這條直線上有一動點\(P(x，y)\)，那么怎么表示這條直線的參數方程呢？
- 共線向量法引入直線的參數方程
我們這樣做，在直線\(l\)上的點\(P_0\)的斜右上方向取一點\(M\)，使得\(M(x_0+cos\theta,y_0+sin\theta)\)，則直線\(l\)的其中一條單位方向向量\(\overrightarrow{P_0M}=\vec{e}=(cos\theta,sin\theta)\)，由平面向量共線定理可知，存在唯一確定的常數\(t\)，使得向量\(\small{\overrightarrow{P_{0}P}}=t\cdot \vec e\)，即\((x-x_0，y-y_0)=t(cos\theta，sin\theta)\)，即\(x-x_0=t\cdot cos\theta\)；\(y-y_0=t\cdot sin\theta\)，
這樣這條直線上的任意一個動點\(P\)的坐標可以表示為
由於動點的坐標可以刻畫這條直線上的所有的點，因此我們稱上式為傾斜角為\(\theta\)，經過定點\(P_0(x_0,y_0)\)的直線\(l\)的參數方程。
如何理解
如圖所示，動點\(P\)對應的參數為\(t\)，這時\(t\)可以看成一維數軸[圖中的紅色直線]上的動點\(P\)的一維坐標；不過此時數軸上的坐標原點必須是\(P_0(x_0，y_0)\)；那么如何知道該點的二維坐標\((x，y)\)呢？代入參數方程求解即可。
為什么借助直線的參數方程的幾何意義求線段長度簡單呢？原因是將二維平面內的兩點間的距離問題轉化為了一維數軸上的兩點距離了，自然就簡單的多。
答疑解惑
當我們取的是單位方向向量，則由向量共線定理知道，向量\(|\overrightarrow{P_0 P}|=|\vec e||t|=|t|\)，故\(t\)的幾何意義是有向線段\(P_0P\)的數量(或有向線段的位移)；如果當時取的不是單位向量，則\(t\)不是有向線段\(P_0P\)的數量。
\(t\)為0，為正，為負都可以，如上圖，\(t>0\)；\(P\)和\(P_0\)重合時，\(t=0\)；如果我們當時取的單位方向向量和\(\vec e\)相反，則\(t<0\)。
如已知給定直線的傾斜角為\(\beta=\cfrac{\pi}{3}\)，過定點\(A(2，1)\)，則參數方程為\(\left\{\begin{array}{l}{x=2+cos\cfrac{\pi}{3}\cdot m} \\{y=1+sin\cfrac{\pi}{3}\cdot m}\end{array}\right.(m為參數)\).
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給定\(\begin{cases} x=-1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot n \\ y=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot n \end{cases}(n為參數)\)，則我們可以知道傾斜角為\(\cfrac{\pi}{4}\)，過定點\((-1，0)\)；
-
給定\(\begin{cases} x=-1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot n \\ y=2-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot n \end{cases}(n為參數)\)，你都能用什么思路求得定點坐標和傾斜角？
定點的坐標容易求解，是\((-1，2)\)，但是傾斜角的求解需要注意：
必須把參數方程變換為\(\begin{cases} x=-1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot (-n) \\ y=2+\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot (-n) \end{cases} (-n為參數)\)，
即就是\(\begin{cases} x=-1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot m \\ y=2+\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot m \end{cases} (-n=m，m為參數)\)，
所以傾斜角是\(\cfrac{3\pi}{4}\)，為什么要調整？由原來的參數方程直接得到的傾斜角是\(\cfrac{7\pi}{4}\notin [0，\pi)\)，需要往回旋轉\(\pi\)。
不是的，如給定\(\begin{cases}x=-1+ n \\ y=1- n\end{cases}(n為參數)\)， \(n\)的幾何意義不是有向線段\(P_0P\)的數量，這種形式只是直線的參數方程的一般形式，需要轉換為標准形式。
參數方程的參數一般都是有其對應的幾何意義，所以利用其幾何意義可以解決一部分問題，這是優越性之一；其二有了參數的介入，使得方程中的未知數之間的的關系變得間接化，這在直線的參數方程中體現的不是很明顯，
在圓的參數方程中就體現的非常明顯，如\(x^2+y^2=1\)，引入參數\(\theta\)后，圓上的動點的坐標就是\((cos\theta，sin\theta)\),比如在求解圓上的點到直線的最短距離就非常的方便；
再比如，解三角形中，如果已知\(a：b：c=3：2：4\)，如果我們引入參數\(k（k>0）\)，則可以方便的單獨表示\(a=3k，b=2k，c=4k\)。
相關閱讀：變量集中；求曲線上的動點到直線的距離的最值 ；圓和橢圓的參數方程
對呀，正因為這樣，才可以用直線的參數方程來刻畫直線呀。而且好處在於將直線上的動點的坐標都表示成了\(t\)的函數，變量數目變少，非常有利於進一步的計算。
相關儲備
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絕對值的定義，此處涉及去掉參數\(t\)中的絕對值符號；
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韋達定理及其變形，涉及運算變形，比如\(|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}\)；
-
變形運算，比如將直線的參數方程代入圓的普通方程。
-
三角函數運算，比如輔助角公式的變形，比如求\(y=2sin(2\theta+\cfrac{\pi}{3})\)的取值范圍；
-
積的符號法則，比如\(a+b>0\)且\(ab>0\)，則可知\(a>0\)且\(b>0\)；\(a+b>0\)且\(ab<0\)，則可知\(a\)、\(b\)異號；\(a+b<0\)且\(ab>0\)，則可知\(a<0\)且\(b<0\)。
-
代入運算的小技巧，比如將\(x=-1+tcos\alpha\)，\(y=1+tsin\alpha\)代入方程\(x^2+y^2-4x=0\)，注意對齊書寫
\(演草紙上如右操作，省時省力；\left\{\begin{array}{l}{1-2tcos\alpha+t^2cos^2\alpha}\\{1+2tsin\alpha+t^2sin^2\alpha}\\{4-4tcos\alpha}\end{array}\right.\)
整理得到，\(t^2+(2sin\alpha-6cos\alpha)t+6=0\)。
典例剖析
⑴求圓的直角坐標方程；
分析：簡解，\(x^2+(y-\sqrt{5})^2=5\)
⑵設圓\(C\)與直線\(l\)交於點\(A、B\)，若點\(P\)的坐標為\((3，\sqrt{5})\)，求\(|PA|+|PB|\).
法一：將直線和圓的直角坐標方程聯立，求得交點\(A\)、\(B\)的坐標，使用兩點間的坐標公式求解\(|PA|+|PB|\)；理論上可行，操作性不強，運算難度很大。
法二：利用直線參數方程的參數的幾何意義，
將直線的參數方程\(\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot t}\end{array}\right.(t為參數)\)，代入圓的直角坐標方程\(x^2+(y-\sqrt{5})^2=5\)，
得到\((3-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot t)^2+(\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot t -\sqrt{5})^2=5\)整理為\(t^2-3\sqrt{2}t+4=0\)，
由於\(\Delta >0\)，故可設點\(A、B\)分別對應參數\(t_1，t_2\)，
則\(\begin{cases} t_1+ t_2=3\sqrt{2} \\ t_1\times t_2=4 \end{cases}\)，由此可以看出\(t_1>0，t_2>0\)，
故\(|PA|=t_1，|PB|=t_2\)，所以\(|PA|+|PB|=3\sqrt{2}\).
（1）求圓\(C\)的極坐標方程。
分析：圓\(C\)的圓心\(C(\sqrt{2}，\cfrac{\pi}{4})\)，得\(C\)的直角坐標為\((1,1)\)，
所以圓\(C\)的直角坐標方程為\((x-1)^2+(y-1)^2=3\)，
將\(\rho cos\theta=x\)，\(\rho sin\theta=y\)代入上式，整理得到，
圓\(C\)的極坐標方程為\(\rho^2-2\rho cos\theta-2\rho sin\theta-1=0\)。
（2）若\(\alpha \in[0，\cfrac{\pi}{4}]\)，直線\(l\)的參數方程為\(\begin{cases} x=2+cos\alpha\cdot t \\ y=2+sin\alpha\cdot t \end{cases} (t為參數)\)，直線\(l\)交圓\(C\)於\(A、B\)兩點，求弦長\(|AB|\)的取值范圍。
分析：將 \(\begin{cases} x=2+cos\alpha\cdot t \\ y=2+sin\alpha\cdot t \end{cases} (t為參數)\)代入圓\(C\)的直角坐標方程為\((x-1)^2+(y-1)^2=3\)，
化簡整理，得到\(t^2+2(cos\alpha+sin\alpha)t-1=0\)，
則有\(\Delta=4(cos\alpha+sin\alpha)^2+4>0\)，設\(A、B\)兩點對應的參數分別為\(t_1，t_2\)，
則由韋達定理可知，\(t_1+t_2= -2(cos\alpha+sin\alpha)，t_1\cdot t_2= -1\)
所以弦長\(|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=\sqrt{8+4sin2\alpha}\)，
由於\(\alpha \in[0,\cfrac{\pi}{4}]\)，所以\(sin2\alpha\in[0，1]\)，\(8+4sin2\alpha\in[8，12]\)，
所以弦長\(|AB|\in[2\sqrt{2}，2\sqrt{3}]\)。
⑴寫出直線\(l\)的參數方程，並將曲線\(C\)的極坐標方程化為直角坐標方程；
⑵若曲線\(C\)與直線\(l\)相交於不同的兩點\(M、N\)，求\(|PM|+|PN|\)的取值范圍.
分析：⑴直線\(l\)的參數方程為\(\begin{cases} x=4+cos\alpha\cdot t \\ y=2+sin\alpha\cdot t \end{cases}(t為參數)\)，曲線\(C\)的直角坐標方程為\(x^2+y^2=4x\)；
⑵課件地址；
分析：將\(\begin{cases} x=4+cos\alpha\cdot t \\ y=2+sin\alpha\cdot t \end{cases}(t為參數)\)代入\(C：x^2+y^2=4x\)，
得到\(t^2+4(sin\alpha+cos\alpha)t+4=0\)，
由\(\Delta=16(sin\alpha+cos\alpha)^2-16>0\)，得到\(sin\alpha\cdot cos\alpha>0\)，
又\(\alpha\in [0，\pi)\)，故壓縮范圍得到\(\alpha\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)，
又由韋達定理得到\(t_1+t_2=-4(sin\alpha+cos\alpha)\)，\(t_1\cdot t_2=4\)
又由\(t_1+t_2=-4(sin\alpha+cos\alpha)<0\)，則可知\(t_1<0\)，\(t_2<0\)，
則\(|PM|+|PN|=|t_1|+|t_2|=-(t_1+t_2)=4(sin\alpha+cos\alpha)=4\sqrt{2}sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4})\)，
由\(\alpha \in (0，\cfrac{\pi}{2})\) ，得到\(\alpha+\cfrac{\pi}{4}\in (\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{3\pi}{4})\)，
則\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}< sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4}) \leq 1\)，
故$ 4\sqrt{2}\times \cfrac{\sqrt{2}}{2}< 4\sqrt{2}\cdot sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4}) \leq 4\sqrt{2}\times 1 $，
即就是$|PM|+|PN|\in(4，4\sqrt{2}] $.
解后反思：和本題目一樣，要用到\(\Delta\)中內含的字母信息的題目還有解析幾何部分，如引例
失誤防范
(1)、 求\(\odot C\)的參數方程；
分析：將\(\rho^2=x^2+y^2\)，\(y=\rho\cdot sin\theta\)，代入\(\odot C\)的極坐標方程\(\rho^2-4\rho sin\theta-12=0\)，
得到\(\odot C\)的直角坐標方程為\(x^2+y^2-4y-12=0\)，即\(x^2+(y-2)^2=16=4^2\)，
故\(\odot C\)的參數方程為\(\left\{\begin{array}{l}{x=4cos\theta}\\{y=2+4sin\theta}\end{array}\right.\) \((\theta為參數，\theta\in [0，2\pi))\)。
(2)、求直線\(l\)被\(\odot C\)截得的弦長。
【法1】幾何方法，利用\(Rt\Delta\)求解，將直線\(l\)的參數方程消參，得到其普通方程為\(2x-y-3=0\)，
則圓心\((0，2)\)到直線的距離為\(d=\cfrac{|-2-3|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}\)，
則直線\(l\)被\(\odot C\)截得的弦長為\(2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4^2-(\sqrt{5})^2}=2\sqrt{11}\)。
【法2】弦長公式，設直線和圓的交點為\(A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2)\)，
聯立得到方程組，\(\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3=0}\\{x^2+y^2-4y-12=0}\end{array}\right.\)
消去\(y\)得到，\(x^2+(2x-3)^2-4(2x-3)-12=0\)，整理得到，\(5x^2-20x+9=0\)，
由韋達定理得到，\(x_1+x_2=4\)，\(x_1x_2=\cfrac{9}{5}\)，
由弦長公式得到，\(|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\)\(=\sqrt{1+2^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)
\(=\sqrt{5}\sqrt{16-\cfrac{36}{5}}=2\sqrt{11}\)。
【法3】利用直線的參數方程求解，圖像解釋
直線\(l\)的參數方程為\(\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.(t為參數)\)，
(此時千萬要注意，弦長\(|AB|\neq |t_1-t_2|\)，原因是這個參數方程不是標准形式的)
將其做如下的轉化，
\(\left\{\begin{array}{l}{x=2+\cfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5}t}\\{y=1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5}t}\end{array}\right.(t為參數)\)，
令\(\sqrt{5}t=m\)，則其參數方程的標准形式為
\(\left\{\begin{array}{l}{x=2+\cfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot m}\\{y=1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot m}\end{array}\right.(m為參數)\)，
[此時參數\(m\)的幾何意義才是動點到靜點的距離的數量，千萬要注意，即弦長\(|AB|=|m_1-m_2|\)]
將直線\(l\)的參數方程的標准形式代入圓的普通方程得到，
\((2+\cfrac{1}{\sqrt{5}}m)^2+(1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}m)^2-4(1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}m)-12=0\)
整理為\(m^2-11=0\)，令直線和圓的兩個交點\(A，B\)分別對應的參數為\(m_1，m_2\)，
則\(m_1+m_2=0\)，\(m_1m_2=-11\)，
此時弦長\(|AB|=|m_1-m_2|=\sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}=\sqrt{4\times 11}=2\sqrt{11}\)。
解后反思：
- 非標准形式化為標准形式的思路
\(\begin{cases}x=x_0+at=x_0+\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \sqrt{a^2+b^2}t \\y=y_0+bt=y_0+\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \sqrt{a^2+b^2}t\end{cases}(t為參數)\)，
再令\(\sqrt{a^2+b^2}t=m\)，則得到\(\begin{cases}x=x_0+cos\theta m\\y=y_0+sin\theta m\end{cases}(m為參數)\)，這才是標准形式；
此時的參數\(m\)的幾何意義才是定點到動點的有向線段的數量。
延伸考查
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1、\(|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}\)；此時與定點所在的位置無關，在曲線內部或外部都有這樣的結論；
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2、當點\(P\)在圓錐曲線內部時，\(|AB|=|PA|+|PB|=|t_1|+|t_2|=|t_1-t_2|\)；當點\(P\)在圓錐曲線外部時，\(|AB|\neq|PA|+|PB|\)；\(|AB|=|t_1|+|t_2|=t_1+t_2或-(t_1+t_2)\)；
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3、\(|PA|\cdot |PB|=|t_1|\cdot|t_2|=|t_1 \cdot t_2|\)；
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4、\(AB\)的中點\(Q\)對應的參數為\(t=\cfrac{t_1+t_2}{2}\)；若定點\(P\)恰好是弦\(AB\)的中點，則有\(t_1+t_2=0\)
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5、\(\cfrac{1}{|PA|}+\cfrac{1}{|PB|}=\cfrac{|PA|+|PB|}{|PA||PB|}\)，此時要注意點\(P\)的位置，她會影響\(|PA|+|PB|\)的值。
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6、\(|PA|^2+|PB|^2=t_1^2+t_2^2=(t_1+t_2)^2-2t_1t_2\)；
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7、\(||PA|-|PB||=||t_1|-|t_2||\)；
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8、\(\cfrac{|PA|}{|PB|}+\cfrac{|PB|}{|PA|}=\cfrac{t_1^2+t_2^2}{|t_1t_2|}\)；
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9、\(|PA|=2|PB|\)，求實數\(a\)的值；
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10、\(\cfrac{|PD|}{|PA||PB|}=\cfrac{\frac{t_1+t_2}{2}}{|t_1||t_2|}\)，其中點\(D\)為弦\(AB\)的中點。