前言
- 更新時間：2019-08-05
傾斜角斜率
直線的傾斜角的范圍\(\theta\in [0，\pi)\)；
直線方程
典例剖析
直線的方向向量
- 預備知識：經過兩點\(P_1(x_1，y_1)\)、\(P_2(x_2，y_2)\)的直線的方向向量的坐標可以記為\((x_2-x_1，y_2-y_1)\)，當直線的斜率\(k\)存在時，方向向量的坐標可以記為\((1，k)\)，[即\((1，k)=(1，\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1})\)]；
同理，斜截式直線方程\(y=kx+b\)的一個方向向量可以取為\((1，k)\)，或\((-1，-k)\)或\((2，2k)\)等；
一般式直線方程\(Ax+By+C=0\)的一個方向向量可以取為\((1，k)\)，或\((1，-\cfrac{A}{B})\)或\((B，-A)\)或\((-B，A)\)等；
分析：直線\(3x+4y+5=0\)的一個方向向量可以取為\((4，-3)\)，將其單位化為\((\cfrac{4}{5}，-\cfrac{3}{5})\)，故選\(D\)。
分析：\(\vec{a}+2\vec{b}=(-2，3)\)，設直線\(l\)的方向向量為\((1，k)\)，則由直線\(l\)與向量\(\vec{a}+2\vec{b}\)垂直，得到\(-2+3k=0\)，即\(k=\cfrac{2}{3}\)，
即直線\(l\)的斜率為\(k=\cfrac{2}{3}\)，又過點\(A(3，-1)\)，則方程為\(y+1=\cfrac{2}{3}(x-3)\)，
整理得到一般式方程為\(2x-3y-9=0\).
直線的旋轉和平移
分析：將直線\(y=3x\)繞原點逆時針旋轉\(90^{\circ}\)，得到\(y=-\cfrac{1}{3}x\)，再用\(x-1\)替換\(x\)，整理得到\(y=-\cfrac{1}{3}x+\cfrac{1}{3}\)，故選\(A\)；
直線的截距式方程應用
分析：設與直線\(3x+4y+12=0\)平行的直線系方程為\(3x+4y=\lambda\)，
變形整理為直線的截距式方程為\(\cfrac{x}{\frac{\lambda}{3}}+\cfrac{y}{\frac{\lambda}{4}}=1\)，則得到三角形的兩直角邊長為\(|\cfrac{\lambda}{3}|\)和\(|\cfrac{\lambda}{4}|\)，
由\(\cfrac{1}{2}\times |\cfrac{\lambda}{3}|\times |\cfrac{\lambda}{4}|=24\)，解得\(\lambda=\pm 24\)，
即所求直線\(l\)的方程是\(3x+4y\pm 24=0\)。
求直線的傾斜角取值范圍，本質是解正切型三角不等式。
直線的傾斜角的范圍\(\theta\in [0，\pi)\)；
分析：設直線的傾斜角為\(\theta\)，則\(k=tan\theta=2cos\alpha\)，由於\(\alpha\in [\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{\pi}{3}]\)，則\(2cos\alpha\in [1，\sqrt{3}]\)，
即\(k=tan\theta\in [1，\sqrt{3}]\)，故\(\theta\in [\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{3}]\)，故選\(B\).
分析：設直線的傾斜角為\(\theta\)，則\(k=tan\theta=sin\alpha\in [-1，1]\)，又由於\(\theta\in [0，\pi)\)，
則\(\theta\in [0，\cfrac{\pi}{4}]\cup[\cfrac{3\pi}{4}，\pi)\)，故選\(D\).
分析：由點\(A(2，1)\)、\(B(1，m^2)\)得到，\(k=tan\theta=\cfrac{m^2-1}{1-2}=1-m^2\leqslant 1\)，故\(\theta\in [0，\cfrac{\pi}{4}]\cup(\cfrac{\pi}{2}，\pi)\)，故選\(D\).
高階例題
（1）當\(\triangle AOB\)的面積最小時，求直線\(l\)的方程；
分析：過點\(P\)的直線\(l\)與\(x\)軸、\(y\)軸正半軸於\(A\)、\(B\)兩點，
則直線\(l\)的斜率\(k\)一定存在且小於零，故設為\(y-1=k(x-2)\)，
則點\(A(2-\cfrac{1}{k}，0)\)，\(B(0，1-2k)\)，\(k<0\)；
則\(S_{\triangle AOB}=\cfrac{1}{2}|OA|\cdot |OB|=\cfrac{1}{2}(2-\cfrac{1}{k})(1-2k)\)\(=\cfrac{1}{2}(4-4k-\cfrac{1}{k})\)
\(=\cfrac{1}{2}[4-(4k+\cfrac{1}{k})]\)\(=\cfrac{1}{2}[4+(-4k)+\cfrac{1}{(-k)}]\)\(\geqslant \cfrac{1}{2}\left [4+2\sqrt{(-4k)\cdot \cfrac{1}{(-k)}}\;\;\right ]=4\)
當且僅當\(-4k=-\cfrac{1}{k}\)，即\(k=-\cfrac{1}{2}\)時等號成立，
故所求直線\(l\)的方程為\(x+2y-4=0\).
（2）當\(|PA|\cdot |PB|\)取最小值時，求直線\(l\)的方程；
分析：\(|PA|\cdot |PB|=\sqrt{(2-2+\frac{1}{k})^2+(1-0)^2}\cdot \sqrt{(2-0)^2+(1-1+2k)^2}\)\(=\sqrt{(\frac{1}{k})^2+1}\cdot \sqrt{4+4k^2}\)\(=\sqrt{\frac{4}{k^2}+4k^2+8}\)\(\geqslant \sqrt{8+2\sqrt{4k^2\times \frac{4}{k^2}}}=\sqrt{8+8}=4\)
當且僅當\(\cfrac{4}{k^2}=4k^2\)，又由於\(k<0\)，即\(k=-1\)時取到等號，
故所求直線\(l\)的方程為\(x+y-3=0\).
（1）當\(|PA|\cdot |PB|\)取最小值時，求直線\(l\)的方程；
提示：仿上例(2)完成，\(x+y-5=0\)；
（2）當\(|OA|+|OB|\)最小時，求直線\(l\)的方程；
分析：過點\(P\)的直線\(l\)與\(x\)軸、\(y\)軸正半軸於\(A\)、\(B\)兩點，
則直線\(l\)的斜率\(k\)一定存在且小於零，故設為\(y-4=k(x-1)\)，
則點\(A(\cfrac{k-4}{k}，0)\)，\(B(0，4-k)\)，\(k<0\)；
則\(|OA|+|OB|=|\cfrac{k-4}{k}|+|4-k|=\cfrac{k-4}{k}+4-k\)\(=\cfrac{-k^2+5k-4}{k}\)\(=-k-\cfrac{4}{k}+5\)\(=5+[(-k)+(\cfrac{4}{-k})]\)\(\geqslant 5+2\sqrt{(-k)\times \frac{4}{-k}}=5+2\sqrt{4}=9\)
當且僅當\(-k=\cfrac{4}{-k}\)，即\(k=-2\)時取到等號；
故所求直線\(l\)的方程為\(2x+y-6=0\).
