\(\mathbf{{\large {\color{Red} {歡迎到學科網下載資料學習}} } }\)【高分突破系列】 高二數學上學期同步知識點剖析精品講義！
\(\mathbf{{\large {{\color{Red} {跟貴哥學數學，so \quad easy！}} }}}\)
選擇性必修第一冊同步提高，難度3顆星！
模塊導圖
知識剖析
直線系方程
\((1)\)過點\((x_0 ,y_0)\)的直線系方程為\(A(x-x_0 )+B(y-y_0 )=0\)(其中\(A\),\(B\)不全為零)
\((2)\)平行於直線\(Ax+By+C=0\)的直線系方程\(Ax+By+C_0=0(C≠C_0)\)；
\((3)\)垂直於直線\(Ax+By+C=0\)的直線系方程\(Bx-Ay+C_0=0\)；
\((4)\)過兩條已知直線\(l_1:A_1 x+B_1 y+C_1=0\)和\(l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0\)交點的直線系方程\(A_1 x+B_1 y+C_1+λ(A_2 x+B_2 y+C_2 )=0\)
(\(λ∈R\), 這個直線系下不包括直線\(l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0\)，解題時注意檢驗\(l_2\)是否滿足題意)
圓系方程
\((1)\)以\((a ,b)\)為圓心的同心圓圓系方程：\((x-a)^2+(y-b)^2=λ(λ>0)\)；
\((2)\)與圓\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)同心圓的圓系方程為\(x^2+y^2+Dx+Ey+λ=0\)；
\((3)\)過直線\(Ax+By+C=0\)與圓\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)交點的圓系方程為\(x^2+y^2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)\)；
\((4)\)過兩圓\(C_1：x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1=0\)，\(C_2：x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2=0\)交點的圓系方程為\(x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1+λ(x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2 )=0\)
(\(λ≠-1\), 此圓系不含\(C_2：x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2=0\))
特別地，當\(λ=-1\)時，上述方程為一次方程.
兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.
過圓上一點的切線方程
過圓上一點\(P(x_0 ,y_0)\)作圓\(\odot M:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)的切線\(l\)方程為
\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\\\)
\({\color{Red}{證明 \quad 向量法 }}\)
向量\(\overrightarrow{P M}=\left(a-x_{0}, b-y_{0}\right)\)，設切線上任意一點\(B(x ,y)\)，
\(∵l⊥PM\)，\(\therefore \overrightarrow{P M} \perp \overrightarrow{P B}\)，即\(\overrightarrow{P M} \cdot \overrightarrow{P B}=0 \text {, }\)，
\(∴(a-x_0 ,b-y_0 )(x-x_0 ,y-y_0 )=0\)
\(⇒(a-x_0)(x-x_0)+(b-y_0)(y-y_0)=0\)
即切線\(l\)方程為\((a-x_0)(x-x_0)+(b-y_0)(y-y_0)=0\).
\(∵(a-x_0 )(x-x_0 )+(b-y_0 )(y-y_0 )=0\)
\(⇒(a-x_0 )(x-a+a-x_0 )+(b-y_0 )(y-b+b-y_0 )=0\)
\(⇒(a-x_0 )(x-a)+(a-x_0 )^2+(b-y_0 )(y-y_0 )+(b-y_0 )^2=0\)
\(⇒(a-x_0 )(x-a)+(b-y_0 )(y-y_0 )+r^2=0\)
\(⇒(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\)
\(∴\)切線\(l\)方程也可以寫成\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\).
切點弦方程
過圓\(\odot M:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)外一點\(P(x_0 ,y_0)\)引圓的兩條切線，切點分別是\(A\)、\(B\)，則直線\(AB\)的方程為\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\).
\({\color{Red}{ 證明}}\)
\({\color{Red}{ 方法1}}\) 設切點\(A(x_1,y_1 )\)，
則過點\(A\)的切線方程為\((x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2\)，
由於點\(P(x_0 ,y_0)\)在切線\(PA\)上，所以有\((x_0-a)(x_1-a)+(y_0-b)(y_1-b)=r^2\)①，
設切點\(B(x_2,y_2 )\)，同理得\((x_0-a)(x_2-a)+(y_0-b)(y_2-b)=r^2\)②，
由①②得點\(A\)與點\(B\)在直線\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\)上，
則直線\(AB\)的方程為\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\).
\({\color{Red}{ 方法2}}\) 以\(MP\)為直徑的圓方程為\((x-a)(x-x_0 )+(y-b)(y-y_0 )=0\)，記為圓\(C\)，
因為\(\angle P A M=\angle P B M=\dfrac{\pi}{2}\)，所以點\(A\)、\(B\)在圓\(C\)上，
則\(A\)、\(B\)是圓\(C\)與圓\(M\)的兩個交點，
由圓系方程可知，兩圓方程相減即得直線\(AB\)方程
\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\)
\({\color{Red}{ (這跟圓上點的切線方程形式一致)}}\)
經典例題
【題型一】直線系方程
【典題1】求過兩直線\(x-2y+4=0\)和\(x+y-2=0\)的交點\(P\)，且分別滿足下列條件的直線\(l\)的方程．
(1)過點\((2 ,1)\)；
(2)和直線\(3x-4y+5=0\)垂直．
【解析】由\(\left\{\begin{array}{l} x-2 y+4=0 \\ x+y-2=0 \end{array}\right.\)解得\(\left\{\begin{array}{l} x=0 \\ y=2 \end{array}\right.\)，\(∴P(0 ,2)\)．
(1) \({\color{Red}{ 方法一}}\) 由兩點的坐標求得斜率為\(k_{l}=\dfrac{2-1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}\)，
由點斜式求得直線方程為\(y-2=-\dfrac{1}{2}(x-0)\)，
化簡得\(x+2y－4=0\)．
\({\color{Red}{方法二 }}\) 設過點\(P\)的直線方程為\(x-2y+4+λ(x+y-2)=0\)，
\(∵\)過點\((2 ,1)\)，\(∴2-2+4+λ=0⇒λ=-4\)，
故所求直線方程為\(x-2y+4-4(x+y-2)=0⇒x+2y-4=0\).
(2) \({\color{Red}{方法一 }}\) 依題意得所求直線的斜率為\(k_{2}=-\dfrac{4}{3}\)，
由點斜式求得直線方程為\(y-2=-\dfrac{4}{3}(x-0)\)，即\(4x+3y-6=0\)．
\({\color{Red}{ 方法二}}\) 設所求直線為\(4x+3y+λ=0\)
\(∵\)過點\(P(0 ,2)\)，\(∴0+6+λ=0⇒λ=-6\)，
故所求直線方程為\(4x+3y-6=0\).
【點撥】此題是直線系問題.從本題來看，用直線系方程的方法求解對於一般的解法也沒有優勢，這里只是拓展大家的思路.
【典題2】求過點\(P(-1 ,4)\)，圓\((x-2)^2+(y-3)^2=1\)的切線\(l\)的方程．
【解析】\({\color{Red}{方法一 }}\) 當直線\(l\)斜率不存在時，方程為\(x=-1\)，顯然不是切線，
故可設切線方程為\(y=k(x+1)+4\)，
\(∵\)直線\(l\)與圓相切，\(∴\)圓心\((2 ,3)\)到直線\(l\)的距離等於半徑\(1\)，
故\(\dfrac{|3 k+1|}{\sqrt{1+k^{2}}}=1\)，解得\(k=0\)或\(-\dfrac{3}{4}\)，
故所求直線\(l\)的方程為\(y=4\)或\(3x+4y-13=0\)．
\({\color{Red}{方法二 }}\) 如方法二，設切線方程為\(y=k(x+1)+4\)，
由\(\left\{\begin{array}{c} y=k(x+1)+4 \\ (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1 \end{array}\right.\)得\((1+k^2 ) x^2+(2k^2+2k-4)x+k^2+2k-4=0\)
其判別式\(∆=(2k^2+2k-4)^2-4(1+k^2 )(k^2+2k-4)=0\), 解得\(k=0\)或\(-\dfrac{3}{4}\)，
故所求直線\(l\)的方程為\(y=4\)或\(3x+4y-13=0\)．
\({\color{Red}{方法三 }}\) 設所求直線的方程為\(A(x+1)+B(y-4)=0\)(其中\(A\)\(,B\)不全為零)，
\(∵\)直線\(l\)與圓相切，\(∴\)圓心\((2 ,3)\)到直線\(l\)的距離等於半徑\(1\)，故\(\dfrac{|3 A-B|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=1\)
整理，得\(A(4A-3B)=0\)，即\(A=0\)(這時\(B≠0\))或\(A=\dfrac{3}{4}\)，\(B≠0\)．
故所求直線\(l\)的方程為\(y=4\)或\(3x+4y-13=0\)．
【點撥】本題的方法很多，這里利用了直線系方程，過點\((x_0 ,y_0)\)的直線系方程為\(A(x-x_0 )+B(y-y_0 )=0\)(其中\(A\),\(B\)不全為零) , 它比起斜截式\(y=kx+b\)的設法好在不用對\(k\)的存在進行討論.
【題型二】圓系方程
【典題1】經過直線\(2x-y+3=0\)與圓\(x^2+y^2+2x-4y+1=0\)的兩個交點，且面積最小的圓的方程是\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】\({\color{Red}{方法一 }}\) \({\color{Red}{ (面積最小的圓是以兩個交點為直徑的圓) }}\)
\(∵\)圓\(x^2+y^2+2x-4y+1=0\)的方程可化為\((x+1)^{2}+(y-2)^{2}=4\)．
\(∴\)圓心坐標為\((-1 ,2)\)，半徑為\(r=2\)；
\(∴\)圓心到直線\(2x-y+3=0\)的距離為\(d=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)．
設直線\(2x-y+3=0\)和圓\(x^2+y^2+2x-4y+1=0\)的交點為\(A\),\(B\)．
則\(|A B|=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{4-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{2 \sqrt{19}}{\sqrt{5}}\)．
\(∴\)過點\(A\),\(B\)的最小圓半徑為\(\dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt{5}}\)．
聯立\(\left\{\begin{array}{l} 2 x-y+3=0 \\ x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+1=0 \end{array}\right.\)得\(5x^2+6x-2=0\)，
故\(x_{1}+x_{2}=-\dfrac{6}{5}\)，
則圓心的橫坐標為\(\dfrac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)=-\dfrac{3}{5}\)，縱坐標為\(2 \times\left(-\dfrac{3}{5}\right)+3=\dfrac{9}{5}\)，
\(∴\)最小圓的圓心為\(\left(-\dfrac{3}{5}, \dfrac{9}{5}\right)\)，
\(∴\)最小圓的方程為\(\left(x+\dfrac{3}{5}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{9}{5}\right)^{2}=\dfrac{19}{5}\)．
\({\color{Red}{ 方法二}}\) 依題意，
可設過點\(A\)、\(B\)兩點圓的方程為\(x^2+y^2+2x－4y+1+λ(2x-y+3)=0\)，
\({\color{Red}{(利用圓系方程把滿足題意的所有圓表示出來，再用代數的方法求面積最小的圓) }}\)
整理得\((x+\lambda+1)^{2}+\left(y-\dfrac{4+\lambda}{2}\right)^{2}=\dfrac{5}{4} \lambda^{2}+\lambda+4\)
若要使得圓的面積最小，則只需半徑最小，即\(\dfrac{5}{4} \lambda^{2}+\lambda+4\)取到最小值，
而\(\dfrac{5}{4} \lambda^{2}+\lambda+4=\dfrac{5}{4}\left(\lambda+\dfrac{2}{5}\right)^{2}+\dfrac{19}{5} \geq \dfrac{19}{5}\)，當\(\lambda=-\dfrac{2}{5}\)時取到最小值，
此時圓的方程為\(\left(x+\dfrac{3}{5}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{9}{5}\right)^{2}=\dfrac{19}{5}\).
【點撥】本題是過直線與圓交點的圓系問題.方法一可以說是從幾何的角度得出思路求解，而方法二算是“代數法”，略顯簡潔些.
【典題2】已知圓\(C_1：x^2+y^2=10\)與圓\(C_2：x^2+y^2+2x+2y-14=0\)．
(1)求證：圓\(C_1\)與圓\(C_2\)相交；
(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；
(3)求經過兩圓交點，且圓心在直線\(x+y-6=0\)上的圓的方程．
【解析】(1)證明： \({\color{Red}{(圓心距C_1 C_2∈(R-r ,R+r)⇔ 兩圓相交) }}\)
圓\(C_2：x^2+y^2+2x+2y-14=0\)化為標准方程為\((x+1)^{2}+(y+1)^{2}=16\)
\(∴C_2 (-1 ,-1)\)，\(r=4\)
\(∵\)圓\(C_1：x^2+y^2=10\)的圓心坐標為\((0 ,0)\)，半徑為\(R=\sqrt{10}\)
\(\therefore\left|C_{1} C_{2}\right|=\sqrt{2}\),
\(\because 4-\sqrt{10}<\sqrt{2}<4+\sqrt{10},\)，\(∴\)兩圓相交；
(2) \({\color{Red}{(兩圓方程相減所得方程即是公共弦所在直線方程) }}\)
將兩圓方程相減，可得\(2x+2y-4=0\)，
即兩圓公共弦所在直線的方程為\(x+y-2=0\)；
(3) \({\color{Red}{ 方法一}}\) \({\color{Red}{(先求出兩個交點，再求圓心與半徑得圓的方程，思路很直接) }}\)
由\(\left\{\begin{array}{c} x^{2}+y^{2}+2 x+2 y-14=0 \\ x^{2}+y^{2}=10 \end{array}\right.\)解得\(\left\{\begin{array}{c} x=3 \\ y=-1 \end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{c} x=-1 \\ y=3 \end{array}\right.\)，
\({\color{Red}{(這里還是有些計算量的) }}\)
則交點為\(A(3 ,-1)\)\(,B(-1 ,3)\)，
\(∵\)圓心在直線\(x+y-6=0\)上，設圓心為\(P(6-n ,n)\)，
則\(AP=BP\)，解得\(n=3\)，
故圓心\(P(3 ,3)\)，半徑\(r=AP=4\)，
\(∴\)所求圓的方程為\((x-3)^{2}+(y-3)^{2}=16\)．
\({\color{Red}{方法二 }}\) 設所求圓的方程為\(x^2+y^2+2x+2y-14+λ(x^2+y^2-10)=0(λ≠-1)\)
即\((1+\lambda) x^{2}+(1+\lambda) y^{2}+2 x+2 y-14-10 \lambda=0\)
\(∴\)圓心坐標為\(\left(-\dfrac{1}{1+\lambda},-\dfrac{1}{1+\lambda}\right)\)
代入直線\(x+y-6=0\)可得\(-\dfrac{1}{1+\lambda}-\dfrac{1}{1+\lambda}-6=0\)，\(\therefore \lambda=-\dfrac{4}{3}\)
\(∴\)所求圓的方程為\(x^2+y^2-6x-6y+2=0\)．
【點撥】此題是過圓與圓交點的圓系問題.
① 兩圓之間的位置關系看圓心距\(O_1 O_2\)與兩圓半徑\(R\)與\(r\)之間的關系；
② 過兩圓\(C_1：x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1=0\)，\(C_2：x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2=0\)交點的圓系方程為\(x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1+λ(x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2 )=0\)
(\(λ≠-1\), 此圓系不含\(C_2：x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2=0\))
特別地，當\(λ=-1\)(即兩圓方程相減)時，上述方程為一次方程.
兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.
③ 方法的選取在於思考難度、計算量、嚴謹性性等.
【典題3】過點\((3 ,1)\)作圓\((x-1)^{2}+y^{2}=1\)的兩條切線，切點分別為\(A\)、\(B\)，則直線\(AB\)的方程為\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】\({\color{Red}{方法一 }}\) 由圖易得一切點為\((1 ,1)\)，
連接點\((3 ,1)\)與圓心\((1 ,0)\)直線的斜率\(k=\dfrac{1-0}{3-1}=\dfrac{1}{2}\)，
由切線性質可知\(k_{A B} \cdot k=-1 \Rightarrow k_{A B}=-2\)，
又直線\(AB\)過點\((1 ,1)\)
\(∴\)直線\(AB\)方程為\(y-1=-2(x-1)⇒2x+y-3=0\).
\({\color{Red}{(結合圖形的特殊性，利用平幾的知識求解，不具有一般性) }}\)
\({\color{Red}{方法二 }}\) 圓\((x-1)^{2}+y^{2}=1\)的圓心為\(C(1 ,0)\)，半徑為\(1\)，
以\((3 ,1)\)、\(C(1 ,0)\)為直徑的圓的方程為\((x-2)^{2}+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{5}{4}\)，
將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程\(2x+y－3=0\)，
\({\color{Red}{(這里把直線AB看成是兩個圓公共弦所在的直線) }}\)
\({\color{Red}{ 方法三 }}\)過圓\(\odot M:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)外一點\(P(x_0 ,y_0)\)引圓的兩條切線，
切點分別是\(A\)、\(B\), 則直線\(AB\)的方程為\((x-x_0 )(a-x_0 )+(y-y_0 )(b-y_0 )=r^2\).
所以有\((3+1)(x-1)+1\cdot y=1\)，化簡得\(2x+y-3=0\)．
\({\color{Red}{(使用結論直接快捷) }}\)
【點撥】本題是圓的切點弦問題. 方法三直接快捷，但若是只會直接套用，達不到鍛煉數學思維的能力 , 應多比較多種方法的優略性，掌握解題方法的本質.
【典題4】已知直線\(l：y=kx-2\)，\(M(-2 ,0)\),\(N(-1 ,0)\)，\(O\)為坐標原點，動點\(Q\)滿足\(\dfrac{|Q M|}{|Q N|}=\sqrt{2}\)，動點\(Q\)的軌跡為曲線\(C\)
(1)求曲線\(C\)的方程；
(2)若直線\(l\)與圓\(O：x^2+y^2=2\)交於不同的兩點\(A\),\(B\)，當\(\angle A O B=\dfrac{\pi}{2}\)時，求\(k\)的值；
(3)若\(k=\dfrac{1}{2}\)，\(P\)是直線\(l\)上的動點，過點\(P\)作曲線\(C\)的兩條切線\(PC\)、\(PD\)，切點為\(C\)、\(D\)，探究：直線\(CD\)是否過定點．
【解析】(1)設點\(Q(x ,y)\)，依題意知\(\dfrac{|Q M|}{|Q N|}=\dfrac{\sqrt{(x+2)^{2}+y^{2}}}{\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}}=\sqrt{2}\)，
整理得\(x^2+y^2=2\)，
\(∴\)曲線\(C\)的方程為\(x^2+y^2=2\).
(2)\(∵\)點\(O\)為圓心，\(\angle A O B=\dfrac{\pi}{2}\)，
\(∴\)點\(O\)到\(l\)的距離\(d=\dfrac{\sqrt{2}}{2} r\)，
\(\therefore \dfrac{2}{\sqrt{k^{2}+1}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} \Rightarrow k=\pm \sqrt{3}\)；
(3)由題意可知：\(O\)、\(P\)、\(C\)、\(D\)四點共圓且在以\(OP\)為直徑的圓上，
\({\color{Red}{(對角互補的四邊形的四頂點共圓) }}\)
設\(P\left(t, \dfrac{1}{2} t-2\right)\)，則圓心\(\left(\dfrac{t}{2}, \dfrac{t}{4}-1\right)\)，半徑\(\sqrt{\dfrac{t^{2}}{4}+\left(\dfrac{t}{4}-1\right)^{2}}\)
得\(\left(x-\dfrac{t}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{t}{4}+1\right)^{2}=\dfrac{\mathrm{t}^{2}}{4}+\left(\dfrac{t}{4}-1\right)^{2}\)
即\(x^{2}-t x+y^{2}-\left(\dfrac{1}{2} t-2\right) y=0\)
又\(C\)、\(D\)在圓\(O：x^2+y^2=2\)上
\(\therefore l_{C D}: t x+\left(\dfrac{1}{2} t-2\right) y-2=0\)，即\(\left(x+\dfrac{y}{2}\right) t-2 y-2=0\)，
\({\color{Red}{(直線CD是兩圓的公共弦所在直線，故兩圓方程相減便得其方程) }}\)
由\(\left\{\begin{array}{l} x+\dfrac{y}{2}=0 \\ 2 y+2=0 \end{array}\right.\)得\(\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{1}{2} \\ y=-1 \end{array}\right.\)，
\(∴\)直線\(CD\)過定點\(\left(\dfrac{1}{2},-1\right)\).
鞏固練習
1(★★) 求過兩條直線\(y=2x+3\)與\(3x-y+2=0\)的交點，且分別滿足下列條件的直線方程：
(1)斜率為\(-\dfrac{1}{2}\)；
(2)過點\(P(2 ,3)\)；
(3)平行於直線\(3x+y=1\)．
2(★★) 求過直線\(2x+y+4=0\)和圓\((x+1)^{2}+(y-2)^{2}=4\)的交點，並且面積最小的圓的方程．
3(★★) 求經過圓\(x^2+y^2+8x-6y+21=0\)與直線\(x-y+5=0\)的交點且在\(y\)軸上的弦長為\(2 \sqrt{33}\)的圓的方程．
4(★★) 求圓心在直線\(x+y=0\)上，且過兩圓\(x^2+y^2－2x+10y－24=0\)與\(x^2+y^2+2x+2y-8=0\)的交點的圓的方程．
5(★★) 過圓\(x^2+y^2=4\)內一點\(A(1 ,1)\)作一弦交圓於\(B\)、\(C\)兩點，過點\(B\)、\(C\)作圓的切線\(PB\)、\(PC\)，求點\(P\)的軌跡方程.
6(★★★) 已知圓\(C\)的圓心在\(x\)軸的正半軸上，半徑為\(2\)，且被直線\(l：4x-3y－3=0\)截得的弦長為\(2 \sqrt{3}\)．
(1)圓\(C\)的方程；
(2)設\(P\)是直線\(x+y+4=0\)上動點，過點\(P\)作圓\(C\)的切線\(PA\)，切點為\(A\)，證明：經過\(A\)，\(P\),\(C\)三點的圓必過定點，並求所有定點坐標．
7(★★★) 如圖，已知圓\(M: x^{2}+(y-4)^{2}=4\)，直線\(l\)的方程為\(x-2y=0\)，點\(P\)是直線\(l\)上一動點，過點\(P\)作圓的切線\(PA\)、\(PB\)，切點為\(A\)、\(B\)．
(1)當\(P\)的橫坐標為\(\dfrac{16}{5}\)時，求\(∠APB\)的大小；
(2)求證：經過\(A\)、\(P\)、\(M\)三點的圓\(N\)必過定點，並求出所有定點的坐標．
8(★★★★) 已知圓\(C\)經過坐標原點\(O\)和點\(G(-2 ,2)\)，且圓心\(C\)在直線\(x+y-2=0\)上．
(1)求圓\(C\)的方程；
(2)設\(PA\)、\(PB\)是圓\(C\)的兩條切線，其中\(A\)、\(B\)為切點．
①若點\(P\)在直線\(x-y-2=0\)上運動，求證：直線\(AB\)經過定點；
②若點\(P\)在曲線\(y=\dfrac{1}{4} x^{2}\)(其中\(x>4\))上運動，記直線\(PA\)、\(PB\)與\(x\)軸的交點分別為\(M\)、\(N\)，求\(△PMN\)面積的最小值．
參考答案
1.\((1) x+2y-11=0 \quad (2) 2x+y-7=0 \quad (3) 3x+y-8=0\)
2.\(x^{2}+y^{2}+\dfrac{26}{5} x-\dfrac{12}{5} y+\dfrac{37}{5}=0\)
3.\(x^2+y^2-2x+4y-29=0\)或\(x^2+y^2+26x-24y+111=0\)
4.\((x+3)^{2}+(y-3)^{2}=10\)
5.\(x+y=4\)
6.\(\text { (1) }(x-2)^{2}+y^{2}=4\)\((2) (-1 ,-3)\)和\((2 ,0)\)
7.\((1) 60^{\circ}\quad (2) (0,4),\left(\dfrac{8}{5}, \dfrac{4}{5}\right)\)
8.\((1) x^{2}+(y-2)^{2}=4\)；
\((2)\)①直線\(AB\)恆過定點\((1 ,1)\)； ②\(△PMN\)的面積取得最小值\(32\)．