直線方程
- 點斜式：\(y-y_1=k(x-x_1)\)(其中\(l\)過定點\(P_1(x_1，y_1)\)，斜率為\(k\))；
缺陷：不能表示斜率不存在的直線；
- 斜截式：\(y=kx+b\)(\(k\)是斜率，\(b\)是\(y\)截距)；
缺陷：不能表示斜率不存在的直線；
- 兩點式：\(\cfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\cfrac{x-x_1}{x_2-x_1}(x_1\neq x_2，y_1\neq y_2)\)(兩點是\(P_1(x_1，y_1)、P_2(x_2，y_2)\))，
缺陷：不能表示斜率不存在的和斜率為0的直線；
- 截距式：\(\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}=1(a\neq 0，b\neq 0)\)(\(a,b\)分別是橫截距和縱截距)，
缺陷：不能表示過原點的直線；
- 一般式：\(Ax+By+C=0\)，
沒有上述直線方程的缺陷。
直線的參數方程
- 以動點到定點的有向線段的數量為參數，
\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta\cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.(t為參數)\)
- 如何將一個直線的普通方程轉化為參數方程?[1]
直線系方程
- 定點直線系方程，[是一族直線，不是一條直線，當\(k\)的取值不同時就對應不同的直線]
經過定點\(P(x_0，y_0)\)的直線系方程是\(y-y_0=k(x-x_0)\)(\(k\)是待定系數)或者是\(A(x-x_0)+B(y-y_0)=0\)(\(A\)，\(B\))是待定系數；
- 共點直線系方程，[指經過兩條直線共用的交點的一族直線，當\(\lambda\)的取值不同時就對應不同的直線]
給定兩條直線\(l_1：A_1x+B_1y+C_1=0\)和\(l_2：A_2x+B_2y+C_2=0\)，則經過兩條直線\(l_1\)和\(l_2\)的交點[聯立兩個直線方程即可求得交點坐標]的直線系方程為\((A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0\)(這族直線中不包含直線\(l_2\))，其中\(\lambda\)是待定系數。
解釋說明：共點直線系方程中為什么不包括\(l_2\)？
由於共點直線系方程為\((A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0\)，
則當\(\lambda=0\)時，說明此時隨\(\lambda\)取值變化的直線系中剛好刻畫的是直線\(l_1\)；
當\(\lambda\neq 0\)時，要使得刻畫的是直線\(l_2\)，則需要\(A_1x+B_1y+C_1=0\)，而它前邊系數的系數為\(1\)，不是\(0\)，故不可能突變為\(0\)，這樣整個的運算結果就不可能變為\(A_2x+B_2y+C_2=0\)，故共點直線系方程中不包括直線\(l_2\)；
同理，如果我們將共點直線系方程寫為\(\lambda (A_1x+B_1y+C_1)+(A_2x+B_2y+C_2)=0\)，則此時共點直線系方程中就不包含直線\(l_1\)。
用課件做以說明。
- 平行直線系方程
直線\(y=kx+b\)中，當\(k\)為常數而\(b\)變化時，表示一族平行直線方程；與直線\(Ax+By+C=0\)平行的直線系方程是\(Ax+By+\lambda=0(C\neq \lambda\)，即不包含兩直線重合情況，\(\lambda\) 為參數)。
- 垂直直線系方程
與直線\(Ax+By+C=0(A\neq 0，B\neq 0)\)垂直的直線系方程是\(Bx-Ay+\lambda=0(\lambda 為參數)\)。
圓的切線方程
已知圓\(x^2+y^2=r^2\)，則可知
①過圓上的點\(P_0(x_0，y_0)\)的切線方程是\(x_0x+y_0y=r^2\)；[2] 向量證明方法見必修四P99 例3。
②斜率為\(k\)的直線成為圓的的切線方程為\(y=kx\pm r\sqrt{1+k^2}\)；
兩圓相交弦方程
引例：比如給定\(\odot C_1：(x-1)^2+(y-1)^2=4\)①，\(\odot C_2：(x+1)^2+(y+1)^2=4\)②，求兩圓的相交弦所在的直線方程。
分析：設兩個圓相交后的公共點為\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)，
則由點\(A\)滿足圓\(C_1\)和圓\(C_2\)，，得到\((x_1-1)^2+(y_1-1)^2=4\)，\((x_1+1)^2+(y_1+1)^2=4\)，
兩式相減整理得到，\(y_1=-x_1\)；
由點\(B\)滿足圓\(C_1\)和圓\(C_2\)，，得到\((x_2-1)^2+(y_2-1)^2=4\)，\((x_2+1)^2+(y_2+1)^2=4\)，
兩式相減整理得到，\(y_2=-x_2\)；
說明點\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)都在直線\(y=-x\)上，故兩圓的相交弦所在的直線方程為\(y=-x\)。
簡單操作：由①-②得到，經過兩個圓的相交弦方程為\(-2x-2x-2y-2y=0\)，即\(y=-x\)；
由此類比得到更一般化的情形：
給定\(\odot C_1：(x-a)^2+(y-b)^2=e\)①，\(\odot C_2：(x-c)^2+(y-d)^2=f\)②，注意兩圓必須相交； 由①-②得到，經過兩個圓的相交弦方程為\((2c-2a)x+(2d-2b)y+a^2-c^2+b^2-d^2-e+f=0\)；
相互關系
-
平行的充要條件
-
垂直的充要條件
有空待補充。
典例剖析
若直線\(x+(1+m)y-2=0\)與直線\(mx+2y+4=0\)平行，則\(m\)的值為【】
分析：由題可知，\(\cfrac{1}{m}=\cfrac{m+1}{2}\neq \cfrac{-2}{4}\)①，具體求解時我們往往只利用下式求值，
由\(\cfrac{1}{m}=\cfrac{m+1}{2}\)②，解得\(m=1\)或\(m=-2\)，由於剛才擴大了范圍，故此時需要代入①式驗證，
驗證得到\(m=-2\)時不符，故\(m=1\)，則選\(A\)。
反思：滿足②式的解不見得就一定滿足①式，故不要忘記驗證。補充直線平行或垂直的充要條件。
求直線方程的方法
待補充
①直接法
②公式法
③直線系法
④向量法
⑤相關點法
⑥參數法
⑦結構分析法
⑧點差法
如給定直線\(y=2x+1\)，其中點\((0，1)\)，點\((1，3)\)都在其上，
我們現在想求做過點\((1，3)\)的直線\(y=2x+1\)的參數方程，
可以這樣做，依照模板\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta \cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.(t為參數)\)
定點坐標為\((x_0，y_0)=(1，3)\)，
可知\(k=tan\theta=2\)，引入非零比例因子\(k\)，
得到\(sin\theta=2k\)，\(cos\theta=k(k>0)\)，
由\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)，得到\(k=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，
則可知\(cos\theta=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，\(sin\theta=\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)
故所給定直線\(y=2x+1\)的參數方程為
\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+\cfrac{\sqrt{5}}{5} t}\\{y=3+\cfrac{2\sqrt{5}}{5} t}\end{array}\right.(t為參數)\)
總結思路：①找個定點；②求解\(cos\theta\)和\(sin\theta\)；③帶入模板，OK! ↩︎證明：由於點\(P_0(x_0，y_0)\)在圓\(x^2+y^2=r^2\)上，故有\(x_0^2+y_0^2=r^2\)，
又由於直線\(OP\)的斜率\(k_1=\cfrac{y_0}{x_0}\)，故和直線\(OP\)垂直的圓的切線的斜率為\(k_0=-\cfrac{x_0}{y_0}\)
由點斜式可得，過圓上的點\(P_0(x_0，y_0)\)的切線方程為\(y-y_0=k_0(x-x_0)\)，
即\(y-y_0=-\cfrac{x_0}{y_0}(x-x_0)\)，整理為\(x_0x+y_0y=x_0^2+y_0^2\)，又\(x_0^2+y_0^2=r^2\)，
故整理得到切線方程為\(x_0x+y_0y=r^2\)。 ↩︎