\(\mathbf{{\large {\color{Red} {歡迎到學科網下載資料學習}} } }\)【高分突破系列】 高二數學上學期同步知識點剖析精品講義！
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模塊導圖
知識剖析
直線的傾斜角與斜率
1直線的傾斜角
(1) 定義
當直線\(l\)與\(x\)軸相交時，取\(x\)軸作為基准，\(x\)軸正向與直線\(l\)向上方向之間所成的角\(α\)叫做直線\(l\)的傾斜角.
特別地，當直線\(l\)與\(x\)軸平行或重合時，規定\(α=0^∘\).
(2) 范圍
\(\alpha \in\left[0^{\circ}, 180^{\circ}\right)\).\(l\)與\(x\)軸垂直時，\(α=90^∘\).
2 直線的斜率
(1) 定義
直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，記作\(k=\tan α(α≠ 90^∘)\).
當直線\(l\)與\(x\)軸平行或重合時，\(α=0^∘\)，\(k=tan 0^∘=0\);
當直線\(l\)與\(x\)軸垂直時，\(α=90^∘\),\(k\)不存在.
(2) 傾斜角\(α\)與斜率\(k\)之間的關系
\(k=\tan α\)，\(α∈[0^∘ ,180^∘)\)，
如左圖，當\(α∈[0^∘ ,90^∘)\)時，\(k(α)\)是遞增的；
右圖中斜率為\(k_1\),\(k_2\)的直線對應的傾斜角為\(α_1\),\(α_2\)，其中\(0<\alpha_{2}<\alpha_{1}<\dfrac{\pi}{2}\)，而\(k_1>k_2>0\)；
如左圖，當\(α∈(90^∘ ,180^∘)\)時，\(k(α)\)也是遞增的；
右圖中斜率為\(k_3\),\(k_4\)的直線對應的傾斜角為\(α_3\),\(α_4\)，
其中\(\dfrac{\pi}{2}<\alpha_{3}<\alpha_{4}<\pi\)，而\(k_3<k_4<0\).
\({\color{Red}{(簡而言之，斜率大小看傾斜角，直線越陡斜率絕對值|k|越大) } }\)
(3) 斜率公式
經過兩點\(P_1 (x_1 ,y_1)\),\(P_2 (x_2 ,y_2)\)\((x_1≠ x_2)\)的直線的斜率公式是\(k==\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\).
使用斜率公式的時候要注意\(x_1≠ x_2\)的前提條件.
(4) 求斜率的方法
(1)已知直線上兩點，根據斜率公式\(k==\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x_{1} \neq x_{2}\right)\)求斜率；
(2)已知直線的傾斜角\(α\)或\(α\)的某種三角函數根據\(k=\tan α(α≠ 90^∘)\)來求斜率.
(5) 利用斜率證明三點共線的方法
已知\(A(x_1 ,y_1)\),\(B(x_2 ,y_2)\),\(C(x_3 ,y_3)\)，
若\(x_1=x_2=x_3\)或\(k_{AB}=k_{BC}\)，則有\(A\)、\(B\)、\(C\)三點共線.
直線的方程
1 直線方程的幾種形式
2 易錯點
\((1)\)利用點斜式求直線方程時，需要先判斷斜率存在與否.
\((2)\)截距與距離的區別：截距的值有正、負、零.距離的值是非負數.
\((3)\)用截距式方程表示直線時，要注意方程的條件限制為兩個截距均不能為零.
經典例題
【題型一】直線的傾斜角與斜率的關系
【典題1】已知直線過\(A(3,m+1)\),\(B(4,2m+1)\)兩點且傾斜角為\(\dfrac{5}{6} \pi\)，則\(m\)的值為\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】因直線\(AB\)的傾斜角為\(\dfrac{5}{6} \pi\)，則其斜率\(k=\tan \dfrac{5}{6} \pi=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，
又由\(A(3,m+1)\),\(B(4,2m+1)\)，
則\(AB\)的斜率\(k=\dfrac{(2 m+1)-(m+1)}{4-3}=m\)，
則有\(m=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)．
【點撥】求斜率有兩種方法:\(k=\tan α\)與斜率公式\(k=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\).
【典題2】直線\(x+y\cosθ-5=0\)的傾斜角\(α\)的取值范圍是\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】
\({\color{Red}{ (直線一般式ax+by+c=0(b≠0)化為斜截式可知斜率k=-\dfrac{a}{b}，注意斜率是否存在) } }\)
若\(\cosθ=0\)，則直線方程為\(x=5\)，即傾斜角\(\alpha=\dfrac{\pi}{2}\)；
若\(\cos \theta \neq 0\)，則直線方程為\(y=-\dfrac{1}{\cos \theta} x+\dfrac{5}{\cos \theta}\)，即\(\tan \alpha=-\dfrac{1}{\cos \theta}\)，
\(∵\cosθ∈[-1 ,0)∪(0 ,1]\)，
\(\therefore-\dfrac{1}{\cos \theta} \leq-1\)或\(-\dfrac{1}{\cos \theta} \geq 1\)，
即\(\tan \alpha \leq-1\)或\(\tan \alpha \geq 1\)，解得\(\alpha \in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right) \cup\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]\)，
\({\color{Red}{ (結合y=\tanα圖象可求) } }\)
綜上可得\(\alpha \in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]\).
【典題3】設點\(A(2 ,-3)\)，\(B(-3 ,-2)\)，直線\(l\)過點\(P(1 ,1)\)且與線段\(AB\)相交，則l的斜率\(k\)的取值范圍為\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】如圖所示，設直線\(l\)與線段\(AB\)交於點\(C\)，
當\(PC⊥x\)軸時直線\(l\)與線段\(AB\)交於點\(D\)，
當點\(C\)在\(BD\)上運動時，斜率\(k\)滿足\(k≥k_{PB}\)，
當點\(C\)在\(DA\)上運動時，\(k≤k_{PA}\)，
即\(k \geq \dfrac{1+2}{1+3}=\dfrac{3}{4}\)或\(k \leq \dfrac{1+3}{1-2}=-4\)，
\(\therefore k \geq \dfrac{3}{4}\)或\(k≤-4\)，
即直線的斜率的取值范圍是\(\left[\dfrac{3}{4},+\infty\right) \cup(-\infty,-4]\)．
【點撥】
① 注意理解直線斜率與傾斜角之間的關系與斜率大小的比較方法，結合圖象思考；
② 注意到直線\(l\)與\(x\)軸垂直的臨界處.
鞏固練習
1(★) 下列敘述正確的是( )
A．平面直角坐標系內的任意一條直線都存在傾斜角和斜率
B．直線傾斜角\(α\)的取值范圍是\(0^°≤α<180^°\)
C．若一條直線的傾斜角為\(α(α≠90^°)\)，則此直線的斜率為\(\tanα\)
D．與坐標軸垂直的直線的傾斜角是\(0^°\)或\(90^°\)
2(★) 若直線經過兩點\(A(m ,2)\)，\(B(-m ,2m-1)\)且傾斜角為\(45°\)，則\(m\)的值為\(\underline{\quad \quad}\) .
3(★★) 已知在直角坐標系中，等邊\(△ABC\)中\(A\)與原點重合，若\(AB\)的斜率為\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，則\(BC\)的斜率可能為 \(\underline{\quad \quad}\) .
4(★★) 已知\(θ∈R\)，則直線\(x \sin \theta-\sqrt{3} y+1=0\)的傾斜角的取值范圍是\(\underline{\quad \quad}\) .
5(★★) 直線\(l\)經過點\(A(2,1)\),\(B(3,t^2)\)，\((-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2})\)，則直線\(l\)傾斜角的取值范圍是\(\underline{\quad \quad}\) .
6(★★★) 已知兩點\(A(-3 ,4)\)，\(B(3 ,2)\)，過點\(P(1 ,0)\)的直線\(l\)與線段\(AB\)有公共點，則直線\(l\)的斜率\(k\)的取值范圍是\(\underline{\quad \quad}\) .
7(★★★)\(P(x ,y)\)在線段\(AB\)上運動，已知\(A(2 ,4)\),\(B(5 ,-2)\)，則\(\dfrac{y+1}{x+1}\)的取值范圍是\(\underline{\quad \quad}\) .
參考答案
1.\(BCD\)
2.\(\dfrac{3}{4}\)
3.\(-\dfrac{\sqrt{3}}{5}\)
4.\(\left[0, \dfrac{\pi}{6}\right] \cup\left[\dfrac{5 \pi}{6}, \pi\right)\)
5.\(\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)\)
6.\([－1,1]\)
7.\(\left[-\dfrac{1}{6}, \dfrac{5}{3}\right]\)
【題型二】求直線方程
【典題1】根據所給條件求直線方程
\((1)\)直線過點\(A(1 ,2)\)，傾斜角\(α\)的正弦值為\(\dfrac{3}{5}\)；
\((2)\)直線過點\(A(1 ,3)\)，且在兩坐標軸上的截距之和為\(8\)；
\((3)\)直線過點\(A(2 ,4)\)，\(B(-2 ,8)\).
【解析】\(\text { (1) } \because \sin \alpha=\dfrac{3}{5}\)，
\(\therefore k=\tan \alpha=\pm \dfrac{3}{4}\)，
則直線方程為\(y-2=\pm \dfrac{3}{4}(x-1)\)，
\({\color{Red}{(已知斜率與一點，采取點斜式) } }\)
即\(3x-4y+5=0\)或\(3x+4y-11=0\).
(2)
\({\color{Red}{ (x、y軸上的截距都涉及到，優先考慮截距式) } }\)
依題意得，直線的橫截距、縱截距均不為\(0\)，
可設直線方程為\(\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{8-m}=1\)，
代入點\(A(1 ,3)\)，可得\(\dfrac{1}{m}+\dfrac{3}{8-m}=1\)，解得\(m=2\)或\(m=4\)，
所以所求直線方程為\(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{6}=1\)或\(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{4}=1\)，
即所求直線方程為\(3x+y-6=0\)或\(x+y-4=0\).
(3) \({\color{Red}{(已知直線過兩點，可先求出斜率再用點斜式) } }\)
直線斜率\(k=\dfrac{4-8}{2-(-2)}=-1\)，
則所求直線方程為\(y-4=-(x-2)\)，整理得\(x+y-6=0\).
【點撥】
① 求直線方程的時，要注意各種形式的限制條件；
② 往往可以多種方法求解，注意最優解.
【典題2】 如圖所示，在平面直角坐標系\(xOy\)中，已知點\(A(0 ,2)\)，\(B(-2 ,0)\)，\(C(1 ,0)\)，分別以\(AB\)，\(AC\)為邊向外作正方形\(ABEF\)與\(ACGH\)，則點\(H\)的坐標為\(\underline{\quad \quad}\) ，直線\(FH\)的一般式方程為\(\underline{\quad \quad}\) ．
【解析】
\({\color{Red}{ (求點H坐標相當求點H到x、y軸距離，用幾何知識點求解；再求出點H便可求直線FH方程) } }\)
分別過\(H\)、\(F\)作\(y\)軸的垂線，垂足分別為\(M\)、\(N\)，
\(∵\)四邊形\(ACGH\)為正方形，
\(∴Rt△AHM≌Rt△CAO\)，可得\(AM=OC\)，\(MH=OA\)，
\(∵A(0 ,2)\)，\(C(1 ,0)\)，
\(∴MH=OA=2\)，\(AM=OC=1\)，可得\(OM=OA+AM=3\)，
由此可得\(H\)坐標為\((2 ,3)\)，同理得到\(F(-2 ,4)\)，
\(∴\)直線\(FH\)的斜率為\(k=\dfrac{4-3}{-2-2}=-\dfrac{1}{4}\)，
可得直線\(FH\)的方程為\(y-3=-\dfrac{1}{4}(x-2)\)，化簡得\(x+4y-14=0\)．
【點撥】根據題意，可知點\(F\)、\(H\)是確定的，求出兩點坐標再求直線\(FH\)方程就不難了.本題利用平幾知識點求出點\(F\)、\(H\)的坐標.
鞏固練習
1(★) 【多選題】下列說法中，正確的有( )
A．過點\(P(1 ,2)\)且在\(x\)、\(y\)軸截距相等的直線方程為\(x+y-3=0\)
B．直線\(y=3x-2\)在\(y\)軸上的截距為\(-2\)
C．直線\(x-\sqrt{3} y+1=0\)的傾斜角為\(60^°\)
D．過點\((5 ,4)\)並且傾斜角為\(90^°\)的直線方程為\(x-5=0\)
2(★)【多選題】下列有關直線\(l：x+my-1=0(m∈R)\)的說法中不正確的是( )
A．直線\(l\)的斜率為\(-m\)
B．直線\(l\)的斜率為\(-\dfrac{1}{m}\)
C．直線\(l\)過定點\((0 ,1)\)
D．直線\(l\)過定點\((1 ,0)\)
3(★) 已知直線\(mx+3y-12=0\)在兩個坐標軸上截距之和為\(7\)，則實數\(m\)的值為\(\underline{\quad \quad}\) .
4(★★)若直線過點\((1 ,1)\)且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為\(2\)，則這樣的直線有\(\underline{\quad \quad}\) 條.
5(★★) 已知等邊\(△ABC\)的兩個頂點\(A(0 ,0)\),\(B(4 ,0)\)，且第三個頂點在第四象限，則\(BC\)邊所在的直線方程是\(\underline{\quad \quad}\) .
參考答案
1.\(BD\)
2.\(ABC\)
3.\(4\)
4.\(3\)
5.\(y=\sqrt{3}(x-4)\)
【題型三】直線方程的綜合運用
【典題1】設直線\(l：(3+2λ)x+(4+λ)y-19-6λ=0\),\((λ∈R)\)．
(1)求證：直線\(l\)恆過定點\(M\)，並求出定點\(M\)坐標；
(2)若直線\(l\)在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程；
(3)設直線\(l\)與\(x\)軸、\(y\)軸的正半軸交於點\(A\),\(B\)，求當\(|MA|\cdot |MB|\)(點\(M\)為(1)中的定點)取得最小值時直線\(l\)的方程．
【解析】(1)直線方程化為\(3x+4y-19+λ(2x+y-6)=0\)
由\(\left\{\begin{array}{l} 3 x+4 y-19=0 \\ 2 x+y-6=0 \end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l} x=1 \\ y=4 \end{array}\right.\)，則定點\(M\)為\((1 ,4)\)．
\({\color{Red}{ (λ視為參數，過定點的意思是"不管λ取什么值，方程3x+4y-19+λ(2x+y-6)=0均成立"，故先把λ提取出來，}}\)
\({\color{Red}{ 滿足"0+λ⋅0=0 "這一形式即可,故\left\{\begin{array}{l} 3 x+4 y-19=0 \\ 2 x+y-6=0 \end{array}\right.) } }\)
(2) \({\color{Red}{ (截距相等，有可能兩個截距均為0，故要分類討論) } }\)
當直線過原點時，\(-19-6λ=0\), 則\(\lambda=-\dfrac{19}{6}\), 此時直線的方程為\(4x-y=0\)．
當直線不過原點時，則\(3+2λ=4+λ\)，解得\(λ=1\)，
所求直線為\(x+y-5=0\)．
綜上，直線方程為\(4x-y=0\)或\(x+y-5=0\)．
(3)設\(A(a ,0)\)，\(B(0 ,b)(a>0 ,b>0)\)，
\({\color{Red}{ 方法1 } }\) 則直線l的方程可設為\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)，
又直線l過點\(M(1 ,4)\), 則\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}=1\)，
\(|M A||M B|=\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{M B}\)
\({\color{Red}{ (利用數量積\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{M B}=|M A||M B| \cos 0=|M A||M B|把“兩線段乘積“變成”向量坐標“處理簡單多了) } }\)
\(=(1-a ,4)(-1 ,b-4)=a+4b-17\)
\(=(a+4 b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}\right)-17\)\({\color{Red}{(基本不等式巧1法) } }\)
\(=\dfrac{4 b}{a}+\dfrac{4 a}{b} \geq 2 \sqrt{\dfrac{4 b}{a} \cdot \dfrac{4 a}{b}}=8\)，
當且僅當\(\dfrac{4 b}{a}=\dfrac{4 a}{b}\)且\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}=1\)，即\(a=b=5\)時等號成立，
此時直線方程為\(x+y-5=0\)．
\({\color{Red}{ 方法2 } }\) 設直線l的傾斜角為\(α\)，由已知可知\(\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\)，
如圖，\(|M B|=\dfrac{4}{\sin (\pi-\alpha)}=\dfrac{4}{\sin \alpha}\)，\(|M A|=\dfrac{1}{\cos (\pi-\alpha)}=-\dfrac{1}{\cos \alpha}\)，
\({\color{Red}{(通過圖象觀察引入變量α表示|MA|\cdot |MB|) } }\)
則\(|M A||M B|=-\dfrac{4}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}=-\dfrac{8}{\sin 2 \alpha}\)，
\(\because \alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\)\(\therefore-1 \leq \sin 2 \alpha<0\)，
顯然\(\sin2α=-1\)，即\(\alpha=\dfrac{3 \pi}{4}\)時，\(|M A||M B|=-\dfrac{8}{\sin 2 \alpha}\)取到最小值\(8\)，
此時直線方程為\(x+y-5=0\)．
【點撥】處理線段問題還可以用兩點距離公式，而本題中\(|M A||M B|=\sqrt{1+(a-4)^{2}} \cdot \sqrt{(b-1)^{2}+16}\)，再用消元法處理，計算量很大.
【典題2】如圖，將一塊等腰直角三角板\(ABO\)置於平面直角坐標系中，已知\(AB=OB=1\)，\(AB⊥OB\)，點\(P\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\right)\)是三角板內一點，現因三角板中部分(\(△POB\)內部，不含邊界)受損壞，要把損壞的部分鋸掉，可用經過\(P\)的任意一直線\(MN\)將其鋸成\(△AMN\)．
(1)求直線\(MN\)的斜率的取值范圍；
(2)若\(P\)點滿足\(\overrightarrow{M P}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{P N}\)，這樣的直線\(MN\)是否存在，如不存在，請說明理由；若存在，求出此時直線\(MN\)的方程；
(3)如何確定直線\(MN\)的斜率，才能使鋸成的\(△AMN\)的面積取得最大值和最小值？並求出最值．
\({\color{Red}{(根據觀察圖象易得k_{P A} \leq k_{M N} \leq k_{P B} \Rightarrow-\dfrac{1}{2} \leq k \leq \dfrac{1}{2}，但也可以設直線MN的方程從而求出點M、N的坐標， }}\) \({\color{Red}{ 從而由點M、N的限制求出k_{MN}的范圍) } }\)
依題意，得\(MN\)的方程為\(y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\)，即\(y=k x-\dfrac{2 k-1}{4}\)，
因為\(AB⊥OB\)，\(|AB|=|OB|=1\)，
所以直線\(OA\)的方程為\(y=x\)，直線\(AB\)的方程為\(x=1\)，
聯立\(\left\{\begin{array}{l} y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \\ y=x \end{array}\right.\)，得\(M\left(\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}, \dfrac{2 k-1}{4(k-1)}\right)\)，
聯立\(\left\{\begin{array}{l} y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \\ x=1 \end{array}\right.\)，得\(N\left(1, \dfrac{2 k+1}{4}\right)\)，
所以\(\left\{\begin{array}{l} 0 \leq \dfrac{2 k-1}{4(k-1)} \leq 1 \\ 0 \leq \dfrac{2 k+1}{4} \leq 1 \end{array}\right.\)，解得\(-\dfrac{1}{2} \leq k \leq \dfrac{1}{2}\)．
所以\(k\)的取值范圍為\(\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]\)．
\({\color{Red}{(得到M、N的坐標，便於求解第二、三問) } }\)
(2) 若\(\overrightarrow{M P}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{P N}\)，可得\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}=\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\)，解得\(k=-\dfrac{1}{2}\)，
所以直線\(MN\)的方程為\(y-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\)，
整理得\(x+2y-1=0\)．
(3)在\(△AMN\)中，由(1)知，
\(S_{\triangle A M N}=\dfrac{1}{2} \cdot|A N| \cdot h\)\(=\dfrac{1}{2}\left[1-\dfrac{2 k+1}{4}\right]\left[1-\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}\right]\)
\(=\dfrac{1}{32}\left[4(1-k)+\dfrac{1}{1-k}+4\right]\)，
設\(t=1-k \in\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]\)，
則\(f(t)=4 t+\dfrac{1}{t}\)，
因為\(f(t)\)在\(\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]\)是單調遞增，
\({\color{Red}{(利用對勾函數的性質易得) } }\)
所以當\(t=\dfrac{3}{2}\)時，\(f(t)=\dfrac{20}{3}\)，
即當\(1 -k=\dfrac{3}{2}\)，即\(k=-\dfrac{1}{2}\)時，\(S_{\max }=\dfrac{1}{32}\left[\dfrac{20}{3}+4\right]=\dfrac{1}{3}\)，
當\(t=\dfrac{1}{2}\)時，\(f(t)=4\)，
即當\(1-k=\dfrac{1}{2}\)，即\(k=\dfrac{1}{2}\)時，\(S_{\min }=\dfrac{1}{32}[4+4]=\dfrac{1}{4}\)，
所以\(k=-\dfrac{1}{2}\)時\(S_{\Delta \max }=\dfrac{1}{3}\)；\(k=\dfrac{1}{2}\)時\(S_{\Delta \min }=\dfrac{1}{4}\)．
【點撥】
① 本題完成第一、二問，有更簡便的方法，但若考慮到第三問，采取了求點M、N坐標的方法，故有時做題要統籌到完成的整道題目，在應試中采取綜合時間、得分多方面的最優解.
② 當然本題第三問也有可能還有其他的解法，比如幾何法，
如圖，設過點\(P\)的直線\(CD\)與線段\(AB\)、\(OA\)、\(y\)軸分別交於\(D\)、\(G\)、\(C\)，
由於點\(x_{P}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} O B\)，易證\(PD=PC\)，同理可得\(PE=PF\)，又因為\(∠DPF=∠EPC\)，所以\(∆DPF≅∆EPC\)，故\(S_{\Delta D P F}>S_{\Delta G P H}\)，即當直線\(CD\)越靠近\(PB\)，\(S_{\triangle A M N}\)越大；
故\(k=-\dfrac{1}{2}\)時\(S_{\Delta \max }=\dfrac{1}{3}\)；\(k=\dfrac{1}{2}\)時\(S_{\Delta \min }=\dfrac{1}{4}\)．.
③ 處理最值問題常見的是幾何法(通過觀察圖象利用幾何特點與性質求解)、代數法(引入變量，把所求量的最值問題轉化為函數的最值問題).
鞏固練習
1(★★) 已知直線\(l\)的方程為：\((2+m)x+(1-2m)y+(4-3m)=0\)．
(1)求證：不論\(m\)為何值，直線必過定點\(M\)；
(2)過點\(M\)引直線\(l_1\)，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求\(l_1\)的方程．
2(★★★) 已知直線\(l\)經過點\(P(3 ,2)\)．
(1)若直線\(l\)在\(x\)軸、\(y\)軸上的截距互為相反數，求直線\(l\)的方程；
(2)若直線\(l\)與\(x\)軸、\(y\)軸的正半軸分別交於\(A\),\(B\)兩點．當\(|PA|^2+|PB|^2\)取得最小值時，求直線\(l\)的方程．
3(★★★) 如圖，射線\(OA\),\(OB\)與\(x\)軸正半軸的夾角分別為\(45^°\)和\(30^°\)，過點\(P(1 ,0)\)的直線\(l\)分別交\(OA\)，\(OB\)於點\(A\),\(B\)．
(1)當線段\(AB\)的中點為\(P\)時，求\(l\)的方程；
(2)當線段\(AB\)的中點在直線\(y=\dfrac{x}{2}\)上時，求\(l\)的方程．
4(★★★) 已知直線\(l\)：\(kx－y+1+2k=0(k∈R)\)．
(1)證明：直線\(l\)過定點；
(2)若直線不經過第四象限，求\(k\)的取值范圍；
(3)若直線\(l\)交\(x\)軸負半軸於\(A\)，交\(y\)軸正半軸於\(B\)，\(△AOB\)的面積為\(S\)，求\(S\)的最小值並求此時直線\(l\)的方程．
5(★★★) 在直角坐標系中，已知射線\(OA：x-y=0(x≥0)\)，過點\(P(3 ,1)\)作直線分別交射線\(OA\)，\(x\)軸正半軸於點\(A\)、\(B\)．
(1)當\(AB\)的中點為\(P\)時，求直線\(AB\)的方程；
(2)求\(PA\cdot PB\)的最小值．
參考答案
1.\((1) M(-1,-2)\)\((2) 2x+y+4=0\)
2.\((1) x-y-1=0\)或\(2x-3y=0\)
\(\text { (2) } \sqrt{2} x+\sqrt{3} y-2 \sqrt{3}-3 \sqrt{2}=0\)
3.\(\text { (1) } y=-(\sqrt{3}+1)(x-1)\)\(\text { (2) } y=\dfrac{1}{2}(3+\sqrt{3})(x-1)\)
4.\((1) (-2 ,1) \quad (2) [0 ,+∞) \quad (3) x-2y+4=0\)
5.\((1) x+y-4=0 \quad (2) 4(\sqrt{2}-1)\)