平行與垂直
平行即斜率相同，在一般式 \(Ax+By+C=0\) 中，如果要判斷平行，記住斜率 \(-\dfrac{A_1}{B_1}=-\dfrac{A_2}{B_2}\) 就行了，當然在帶入數之前，要適當地對等式施加一些變換，這樣之后代入數之后才更好算。
垂直靠方向向量的點積等於零推出來，即 \(1+k_1k_2=0\)，即 \(k_1k_2=-1\)，在一般式中就是 \(\dfrac{A_1A_2}{B_1B_2}=-1\)，當然正如上面所說的，先在腦子里把這個式子換成 \(A_1A_2+B_1B_2=0\) 會更好，因為現在這種形式符號一般會更少，腦子更容易處理。
距離問題
兩點間距離公式 \(\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
點到直線的距離
如果是 \(P(x_0,y_0)\) 和 \(y=kx+b\)，那么把 \(y=kx+b\) 和 \(y-y_0=-\dfrac1k(x-x_0)\) 聯立，最后用兩點間距離公式就行了。
如果是 \(P(x_0,y_0)\) 和 \(Ax+By+C=0\)，有一個很簡便的公式 \(d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。（這玩意不比上面那個傻逼聯立好用？）
這個公式在 \(A=0\) 或 \(B=0\) 的情況也能用。
這個有很多推導方法，要是閑着沒事，我往這里放了一種，可以看看。
以下推導默認 \(A\neq0\and B\neq0\)。
首先有一個小插曲，\(Ax_0+By_0+C\) 在 \((x_0,y_0)\) 不在直線上時看似沒有意義對吧？畢竟直線本身就是 \(x,y\) 兩個維度之間的關系，但是如果只確定一個維度，直線上是必然存在一個點的。
那么必有 \(x_1,y_1\) 使得 \((x_0,y_1)\) 和 \((x_1,y_0)\) 均在直線上，故而 \(Ax_0+By_0+C=Ax_0+By_1+C+B(y_0-y_1)=B(y_0-y_1)\)，且 \(Ax_0+By_0+C=Ax_1+By_0+C+A(x_0-x_1)=A(x_0-x_1)\)。
那么設 \(\Delta x=x_0-x_1\)，\(\Delta y=y_0-y_1\)，顯然 \(|\Delta x|\) 就是 \(P(x_0,y_0)\) 沿 \(x\) 軸方向到直線的距離，\(|\Delta y|\) 就是沿 \(y\) 軸方向到直線的距離，而且：
\[|\Delta x|=\left|\dfrac{Ax_0+By_0+C}{A}\right|\\ |\Delta y|=\left|\dfrac{Ax_0+By_0+C}{B}\right| \]那么這就形成了一個以 \(|\Delta x|\) 和 \(|\Delta y|\) 為邊長的直角三角形，斜邊上的高就是點到直線的距離。
如果算出了斜邊長 \(L\)，那么點到直線的距離 \(d=\dfrac{|\Delta x|\cdot|\Delta y|}L\)。
首先 \(L=\sqrt{|\Delta x|^2+|\Delta y|^2}=\sqrt{\dfrac{(A^2+B^2)(Ax_0+By_0+C)^2}{A^2B^2}}=\dfrac{\sqrt{A^2+B^2}}{|AB|}\cdot|Ax_0+By_0+C|\)
所以 \(d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
平行直線的距離
這個公式是 點到直線的距離 公式的衍生。
得到它的具體方法是，先把兩條直線整理成 \(A,B\) 都相同的狀態，然后其中一條直線在 \(y\) 軸上的點（即 \((0,截距)\)）到另一條直線上的距離就是所求了。
也就是 \(\dfrac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。
這個公式在 \(B=0\) 的時候也能用。
這兩個公式是用有約束的情況推的，卻能用到所有情況上，不免令人遐想：這類問題是否可以用更高的視角看待？
對稱問題
關於直線對稱的點
已知點 \(P(x_0,y_0)\)，直線 \(Ax+By+C=0\)，求點 \(P\) 關於直線的對稱點 \(P'(x_1,y_1)\)。
還記得在本節的 **距離問題 **中證明 點到直線的距離公式 時用到的 \(Ax_0+By_0+C=?\) 的相關結論嗎？
可以發現：
然而這個公式在 \(A=0\) 或是 \(B=0\) 的情況下不頂用，要減去兩個 \(\Delta\)，我在網上搜到了另一個公式：
這個公式在 \(A=0\) 或是 \(B=0\) 的情況也頂用。
這個是通過求直線和兩個對稱點所成直線的交點推出來的，我摸了，不證了。
關於直線對稱的直線
有公式：
直線 \(ax+by+c\) 關於對稱軸 \(Ax+By+C\) 的對稱直線為：
證不了，摸了。
不用公式的話，如果對稱軸水平或者豎直且直線與對稱軸有交點還挺好求，其它情況就很操蛋。