藍橋杯 四平方和

 

題目：四平方和

 

看到這個題目，第一個思路就是：

　　枚舉abcd的值，然后判斷它們的平方和是不是等於N。

我們可以分析一下abcd的枚舉范圍：

　　a : 0 ~ sqrt( 5000000 / 4 )

　　b : 0 ~ sqrt( 5000000 / 3 )

　　c : 0 ~ sqrt( 5000000 / 2 )

　　d : 0 ~ sqrt( 5000000 )

　　這樣abcd的需要枚舉的范圍大約都是1000~2000，總枚舉量是10¹²這個量級。而10⁸這個量級的計算量大約用時1秒。所以10¹²這個計算量肯定會超時。

　

 

 

超時我們就要想辦法優化。最先能想到一個優化的辦法——減少枚舉的變量。

思路2：

　　枚舉a、b、c，然后判斷 N - a² - b² - c² 是不是完全平方數。

同理，先分析一下abc的枚舉范圍：

　　a : 0 ~ sqrt( 5000000 / 4 )

　　b : 0 ~ sqrt( 5000000 / 3 )

　　c : 0 ~ sqrt( 5000000 / 2 )

　　可以發現abc的枚舉范圍仍然是1000~2000之間，總的枚舉量大概在10⁹量級。再加上判斷一個整數X是不是完全平方數（開根號取整得到Y，然后再判斷Y*Y是不是等於X即可）復雜度是O(1)。所以整個算法的復雜度是O(N^1.5)，還是會超時。

 

 

 

還超時，說明我們還要繼續優化。

思路3：

　　只枚舉a、b，把余下的部分記作R，即 R = N - a² - b²

於是我們的問題變成：c² + d² = R 有沒有解？如果有解，其中c最小的解是什么？由於題目要求是abcd聯合主鍵升序第一的解。所以這里要快速求出來c最小的解。比如這時R = 25，那么得到的解應該是 c = 0, d = 5，而不是 c = 3，d = 4。這里哈希表就派上用場了。我們可以預先求出來 R = c² + d² 的解，用 unordered_map<int, int> f 來保存一個R對應的c。比如f[5]=1，表示R=5的解是 c = 1，(d=2可以由R和c算出來)。我們可以求出f[0], f[1], … f[5000000]的值，通過查哈希表用O(1)復雜度找到R = c² + d² 的解，這樣就更進一步優化了。

 

代碼如下：

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <unordered_map>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    unordered_map<int, int> f;
    
    cin >> n;
    //預處理，求取 R = c2 + d2 的解並保存在unordered_map
    for(int c = 0; c * c * 2 <= n; c ++ )
        for(int d = c; c * c + d * d <= n; d ++)
            if(f.find( c * c + d * d ) == f.end())    //在f中不存在則保存
                f[c * c + d * d] = c;
    
    for(int a = 0; a * a * 4 <= n; a ++)
        for(int b = a; a * a + b * b <= n / 2; a ++)
            if(f.find(n - a * a - b * b) != f.end())    //查哈希表，有解的話，計算並輸出 
            {
                int c = f[n - a * a - b * b];
                int d = int(sqrt(n - a * a - b * b - c * c) + 1e-3);
                cout << a << ' ' << b << ' ' << c << ' ' << d << endl;
                return 0;
            }
    
    return 0;
} 

 

注：代碼中 1e-3 的作用：

　　sqrt的返回值是浮點數，會有精度誤差。結果有可能出現比實際值略小的情況，比如sqrt(25)=4.999999999。而int強制類型轉換是向下取整，int(4.9999999999)=4。這樣就會由於精度誤差誤判25不是完全平方數。所以我給sqrt的結果加上了一個很小的浮點數，1e-3, 1e-6都可以，為了是把4.9999999這樣的數變成5.00099999 這樣int取整之后仍然是5。當然也可以不加。