平方和公式

$x=\sum_{i=1}^{n}{i^2}$

 

這個式子怎么計算？

1.for循環：復雜度 $O(n)$

2.公式：$\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}$

證明_摘自milky-way學姐的博客：

　　　關於二階等差數列：

　　　　$a_{n}=a_{1}+(n-1)k+\frac{(n-2)(n-1)d}{2} $

 

　　　　證明:$a_{2}-a_{1}=k，a_{3}-a_{2}=k+d，……，a_{n}-a_{n-1}=k+(n-2)d$；

　　　　　　 $a_{n}-a_{1}=k+(n-2)d+k+(n-3)d + …… +k+d$；

　　　　　　 $a_{n}=a_{1}+(n-1)k+\frac{(n-2)(n-1)d}{2}$;

 

　　　$x=\sum_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

 

　　　證明：$a_{1}=1，a_{n}-a_{n-1}=2n-1$；

　　　　　　$a_{1}+...+a_{n}=2*1-1+...+(2*1-1+2*2-1+2*3-1+...+2*n-1)$;

　　　　　　$=(1*2-1)+(2*3-2)+...+[n*(n+1)-n]$;

　　　　　　$=(1*2)+(2*3)+(3*4)+... +n*(n+1)-\frac{n(n+1)}{2}$;

　　　　　  $=\frac{(1*2*3-0*1*2+...+n(n+1)(n+2)-n(n-1)(n+1))}{3}-\frac{n(n+1)}{2}$;

　　　　　  $=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$;

 

　　　　然后就是非常巧妙而且感覺很（夢幻？）的三角形證明了：

　　

　　　想象一下三個三角形疊在一起！對應位置相加，每個位置都是$2n+1$，有$\frac{n(n+1)}{2}$個位置，最后因為是三個三角形相加再除3，答案就出來啦，這個方法真的是很巧妙啊。 

最后說一句：http://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php這個編輯器還是很不錯的...

 

　　2018.8.9更新：

　　今天聽課講到了這道題，其實立方和也有公式，一般地，對於x次方和，就會有一個x+1次的多項式可以用來直接求和，可以用拉格朗日插值法求出多項式系數。