平方和
求
\[\sum_{i=1}^n i^2 \]
結論（想必人盡皆知）
\[\sum_{i=1}^n i^2 =\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6} \]
推導過程
\[(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 \]
\[(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 \]
\[(n+1)^3-1=3\cdot (\sum_{i=1}^n i^2+i)+n \]
這里出現了我們想要的東西，設 \((\sum_{i=1}^n i^2)=x\)，則：
\[3x=n^3+3n^2+3n-3(\sum_{i=1}^n i)-n \]
\[3x=n^3+\frac{3n^2}{2}+\frac{n}{2} \]
\[x=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6} \]
立方和
推導過程是同理的，記一下結論就好了，沒必要每次重新推。
\[(\sum_{i=1}^n i^3)=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \]