參考文獻：1. http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html
2 . https://www.cnblogs.com/hadilo/p/5914302.html
一、歐幾里得算法（重點是證明，對后續知識有用）
歐幾里得算法，也叫輾轉相除，簡稱 gcd，用於計算兩個整數的最大公約數
定義 gcd(a,b) 為整數 a 與 b 的最大公約數
引理：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
證明：
設 r=a%b , c=gcd(a,b)
則 a=xc , b=yc , 其中x , y互質
r=a%b=a-pb=xc-pyc=(x-py)c
而b=yc
可知：y 與 x-py 互質
證明：
假設 y 與 x-py 不互質
設 y=nk , x-py=mk , 且 k>1 （因為互質）
將 y 帶入可得
x-pnk=mk
x=(pn+m)k
則 a=xc=(pn+m)kc , b=yc=nkc
那么此時 a 與 b 的最大公約數為 kc 不為 k
與原命題矛盾，則 y 與 x-py 互質
因為 y 與 x-py 互質，所以 r 與 b 的最大公約數為 c
即 gcd(b,r)=c=gcd(a,b)
得證
當a%b=0時，gcd(a,b)=b
遞歸算法：
int gcd(int a,int b) { if(b==0) return a; return gcd(b,a%b); }
優化：
int gcd(int a,int b) { return b ? gcd(b,a%b) : a; }
二、擴展歐幾里得算法
擴展歐幾里得算法，簡稱 exgcd，一般用來求解不定方程，求解線性同余方程，求解模的逆元等
引理：存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by
證明：
當 b=0 時，gcd(a,b)=a，此時 x=1 , y=0
當 b!=0 時，
設 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2
又因 a%b=a-a/b*b
則 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2
ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2
ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2
ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)
解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2
因為當 b=0 時存在 x , y 為最后一組解
而每一組的解可根據后一組得到
所以第一組的解 x , y 必然存在
得證
根據上面的證明，在實現的時候采用遞歸做法
先遞歸進入下一層，等到到達最后一層即 b=0 時就返回x=1 , y=0
再根據 x=y’ , y=x’-a/b/y’ ( x’ 與 y’ 為下一層的 x 與 y ) 得到當層的解
不斷算出當層的解並返回，最終返回至第一層，得到原解
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } int r=exgcd(b,a%b,x,y); int t=x; x=y; y=t-a/b*y; return r; }
擴展歐幾里德算法的應用主要有以下三方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模線性方程（線性同余方程）；
（3）求解模的逆元；
( 1 )exgcd 解不定方程（使用不將a與b轉為互質的方法）
對於 ax+by=c 的不定方程，設 r=gcd(a,b)
當 c%r!=0 時無整數解
當 c%r=0 時，將方程右邊 *r/c 后轉換為 ax+by=r 的形式
可以根據擴展歐幾里得算法求得一組整數解 x0 , y0
而這只是轉換后的方程的解，原方程的一組解應再 *c/r 轉變回去
（如 2x+4y=4 轉換為 2x+4y=2 后應再將解得的 x , y 乘上2）
則原方程解為 x1=x0*c/r , y1=x0*c/r
通解 x=x1+b/r*t , y=y1-a/r*t ，其中 t 為整數
證明：
將 x , y 帶入方程得
ax+ab/r*t+by-ab/r*t=c
ax+by=c
此等式恆成立
得證
這里 b/r 與 a/r 為最小的系數，所以求得的解是最多最全面的
證明：
為了推出證明中的 ax+by=c ，且想達到更小的系數，只能將 b/r 與 a/r 同除以一個數 s
而 b/r 與 a/r 互質，且 s 為整數，則 s=1 ，不影響通解
那么 b/r 與 a/r 就為最小的系數
得證
bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y) { int d=exgcd(a,b,x,y); if(c%d) return false; int k=c/d; x*=k; y*=k; //求得的只是其中一組解 return true; }
附加一道題的代碼：
#include<stdio.h> int a,b,c,x,y; int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(!b) { x=1; y=0; return a; } int e=exgcd(b,a%b,x,y); int temp=x; x=y; y=temp-a/b*y; return e; } int main() { scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); int k=exgcd(a,b,x,y); if(c%k) printf("Impossible\n"); else { k=c/k; x*=k; y*=k; printf("x=%d,y=%d\n",x,y); } return 0; }
解出來的解后可以轉化為最小整數解：
x=(x%b+b)%b;（求出的就是最小正整數解）；
套用exgcd模板求得的是一組特殊解，但其實這一個方程式是有一個解系，在很多問題中是要你求得最小整數解，下面我們就解決這個問題，在閱讀過很多博客加上自己的理解總結了兩種方法（其實差距不大）
1、a*x+b*y=gcd（a，b）
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return; } int x1,y1; exgcd(b,a%b,x1,y1); x=y1; y=x1-(a/b)*y1; }
x=(x%b+b)%b;（求出的就是最小正整數解）
2.可以說這是求最小正整數的模板
LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y); LL temp=x; x=y; y=temp-a/b*y; return ans; } LL cal(LL a,LL b,LL c) { LL x,y; LL gcd=e_gcd(a,b,x,y); if(c%gcd!=0) return -1; LL b_=b/gcd; x=(x*(c/gcd)%b_)%b_+b_)%b_; return x; }
這兩種本質上沒啥區別，只是在一些問題中a，b等系數可能為負，第一種需要預處理，而第二種則可以直接用
附上學習代碼處：https://blog.csdn.net/tianyuhang123/article/details/52102686
還會往下拓展。。。。盡情期待！