歐幾里德算法
歐幾里德算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。
基本算法：設a=qb+r，其中a，b，q，r都是整數，則gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
第一種證明：
a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數，則有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數
假設d 是(b,a mod b)的公約數，則
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證
第二種證明：
要證歐幾里德算法成立，即證: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公約數的意思，r=a mod b
下面證 gcd（a，b）=gcd（b，r）
設 c是a，b的最大公約數，即c=gcd（a，b），則有 a=mc，b=nc，其中m，n為正整數，且m，n互為質數
由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整數，
則 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c
b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互質（假設n，m-qn不互質，則n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整數，且d>1
則a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,這時a,b 的最大公約數變成dc，與前提矛盾，
所以n ，m-qn一定互質）
則gcd（b,r）=c=gcd（a,b）
得證。
算法的實現：
最簡單的方法就是應用遞歸算法，代碼如下：
1 int gcd(int a,int b) 2 { 3 if(b==0) 4 return a; 5 return 6 gcd(b,a%b); 7 }
代碼可優化如下：
1 int gcd(int a,int b) 2 { 3 return b ? gcd(b,a%b) : a; 4 }
當然你也可以用迭代形式：
1 int Gcd(int a, int b) 2 { 3 while(b != 0) 4 { 5 int r = b; 6 b = a % b; 7 a = r; 8 } 9 return a; 10 }
擴展歐幾里德算法
基本算法：對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
證明：設 a>b。
1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；
2，ab!=0 時
設 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根據朴素的歐幾里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
則:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根據恆等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2.
上面的思想是以遞歸定義的，因為 gcd 不斷的遞歸求解一定會有個時候 b=0，所以遞歸可以結束。
擴展歐幾里德的遞歸代碼：
1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 x=1; 6 y=0; 7 return a; 8 } 9 int r=exgcd(b,a%b,x,y); 10 int t=x; 11 x=y; 12 y=t-a/b*y; 13 return r; 14 }
擴展歐幾里德非遞歸代碼：
1 int exgcd(int m,int n,int &x,int &y) 2 { 3 int x1,y1,x0,y0; 4 x0=1; y0=0; 5 x1=0; y1=1; 6 x=0; y=1; 7 int r=m%n; 8 int q=(m-r)/n; 9 while(r) 10 { 11 x=x0-q*x1; y=y0-q*y1; 12 x0=x1; y0=y1; 13 x1=x; y1=y; 14 m=n; n=r; r=m%n; 15 q=(m-r)/n; 16 } 17 return n; 18 }
擴展歐幾里德算法的應用主要有以下三方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模線性方程（線性同余方程）；
（3）求解模的逆元；
（1）使用擴展歐幾里德算法解決不定方程的辦法：
對於不定整數方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,則該方程存在整數解，否則不存在整數解。
上面已經列出找一個整數解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一組解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整數解滿足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t為任意整數)
至於pa+qb=c的整數解，只需將p * a+q * b = Gcd(p, q)的每個解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一組解p0,q0后，應該是得到p * a+q * b = c的一組解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，
p * a+q * b = c的其他整數解滿足：
1 bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y) 2 { 3 int d=exgcd(a,b,x,y); 4 if(c%d) 5 return false; 6 int k=c/d; 7 x*=k; y*=k; //求得的只是其中一組解 8 return true; 9 }
(2)用擴展歐幾里德算法求解模線性方程的方法：
同余方程 ax≡b (mod n)對於未知數 x 有解，當且僅當 gcd(a,n) | b。且方程有解時，方程有 gcd(a,n) 個解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相當於求解方程 ax+ ny= b, (x, y為整數)
設 d= gcd(a,n)，假如整數 x 和 y，滿足 d= ax+ ny(用擴展歐幾里德得出)。如果 d| b，則方程
a* x0+ n* y0= d， 方程兩邊乘以 b/ d，(因為 d|b，所以能夠整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 為 ax+ ny= b 的一個解，所以 x= x0* b/ d 為 ax= b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一個解為 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 個解分別為 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
設ans=x*(b/d),s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小整數解為：(ans%s+s)%s;
相關證明：
證明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n) (由於 ax' = d (mod n))
= b (mod n)
證明方程有d個解: xi = x0 + i*(n/d) (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n) (由於 d | a)
= b
首先看一個簡單的例子：
5x=4(mod3)
解得x = 2,5,8,11,14.......
由此可以發現一個規律，就是解的間隔是3.
那么這個解的間隔是怎么決定的呢？
如果可以設法找到第一個解，並且求出解之間的間隔，那么就可以求出模的線性方程的解集了.
我們設解之間的間隔為dx.
那么有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
兩式相減，得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是說a*dx就是a的倍數，同時也是n的倍數，即a*dx是a 和 n的公倍數.為了求出dx,我們應該求出a 和 n的最小公倍數,此時對應的dx是最小的.
設a 和 n的最大公約數為d,那么a 和 n 的最小公倍數為(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d.
因此解之間的間隔就求出來了.
代碼如下：
1 bool modular_linear_equation(int a,int b,int n) 2 { 3 int x,y,x0,i; 4 int d=exgcd(a,n,x,y); 5 if(b%d) 6 return false; 7 x0=x*(b/d)%n; //特解 8 for(i=1;i<d;i++) 9 printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n); 10 return true; 11 }
（3）用歐幾里德算法求模的逆元：
同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，則方程只有唯一解。
在這種情況下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
這時稱求出的 x 為 a 的對模 n 乘法的逆元。
對於同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
ax+ ny= 1，x, y 為整數。這個可用擴展歐幾里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用擴展歐幾里德算法得出的 x 。
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t為任意整數)
應該改為:
p = p0 + b/Gcd(a, b) * t
q = q0 - a/Gcd(a,b) * t(其中t為任意整數)