擴展歐幾里德算法——求最小整數解

這是一個數學推導！！！

 

首先我們已經知道了，如何通過擴展歐幾里德算法，求出方程的其中一組解了

那么就可以繼續往下看

　　

　　給出兩個方程

　　　　ax₁+by₁=gcd(a,b)

　　　　ax₂+by₂=gcd(a,b)

　　所以可以推出

　　　　ax₁+by₁=ax₂+by₂

　　　　a(x₁-x₂)=b(y₂-y₁)

　　然后我們知道gcd(a,b)為a,b的最大公因數，所以我們將 A=a/gcd(a,b)，B=b/gcd(a,b)，接着往下推出

　　　　A(x₁-x₂)=B(y₂-y₁)

　　現在A和B兩個已經是互素了,所以又可以接着推出

　　　　(這個地方要好好理解，重點！)

　　　　A*(n*B)=B*(m*A)

　　　　(x₁-x₂)=n*B

　　　　(y₂-y₁)=m*A

　　這里我們從x入手

　　　　(x₁-x₂)=n*B

　　　　x₁=x₂+n*B

　　由此，我們推出了x解的通解公式    x=x₀+n*B

　　同理，我們推出了y解的通解公式　y=y₀-m*A

 

　　那么我們如果要求 x 的最小整數解,也就是 x₀, 就是 x₀=x%B

　　如果我們要求的是  ax+by=c，還得先轉化  x=x*c/gcd(a,b).

　　然后套入我們的公式

　　B=b/gcd(a,b)

　　x₀=x%(b/gcd(a,b))

　　嗯，到此結束，下面給下實現代碼

 

#include <bits/stdc++.h>
#include<unordered_set>
//freopen("in.txt", "r", stdin);

using namespace std;
typedef double dou;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pii;

#define M 1050
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 1000000007
#define W(a) while(a)
#define lowbit(a) a&(-a)
#define left k<<1
#define right k<<1|1
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define debug(a) cout<<#a<<" == "<<a<<endl
#define false_stdio ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll ans = exgcd(b, a%b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return ans;
}

ll solve(ll a, ll b, ll c) {
    ll x, y, z;
    z = exgcd(a, b, x, y);
    if (c%z)return -1;//不成立
    //return x; //不需要最小正整數的話直接返回x
    x *= c / z;
    b = abs(b / z);
    return (x%b + b) % b;
}

int main() {
    false_stdio;
    ll a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    
    ll x = solve(a, b, c);
    ll y = (c - x * a) / b;
    
    if(x>=0)//看x大小要求而定
        cout << x << ' ' << y << endl;
        
    

    return 0;
}