一、擴展歐幾里德算法：
已知a, b求解一組x，y，使它們滿足等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根據數論中的相關定理）。
擴展歐幾里德常用在求解模線性方程及方程組中。
證明：
ax+by=gcd(a,b);
1. (1) a = 0，ax+by = gcd(a,b) = gcd(0,b) = b,
此時x = 0(此時x的值是任意的)，y = 1；
(2)b = 0, ax + by = gcd(a,b) = gcd(a,0) = a,
此時x = 1，y = 0（此時y的值是任意的）；
2.a和b都不為0時
ax1 + by1 = gcd(a, b)
由歐幾里德定理：gcd(a,b) = gcd(b, a%b)得
ax1 + by1 = gcd(a,b) = gcd(b, a%b) 即：
bx2 + a%by2 = gcd(b, a%b) = ax1 + by1
a % b = a - a/b*b;
ax1 + by1 = bx2 + (a - a/b*b)y2;
=bx2 + ay2 - a/b*b*y2;
=ay2 + b(x2-a/b*y2);
所以：x1 = y2, y1 = x2 - a/b*y2
擴展歐幾里德算法代碼：
void gcd(int a, int b, int &x, int &y) { if(b == 0) { x = 1; y = 0; r = a;//r為a、b的最大公約數 return ; } gcd(b, a%b, x, y); int t = x; x = y; y = t - a / b * y; }
二、歐幾里德算法的應用
1.求方程ax + by = c的一種解
擴展歐幾里德算法求得的x1,y1只是ax + by = gcd(a,b)中x和y的一個解
如果讓求ax + by = c的一個解
ax1* z+ by1 * z = c * z;
使c * z = gcd(a,b),則z = c / gcd(a,b);
所以x = x1 * z = x1 * c / gcd(a,b), y = y1 * z = y1 * c / gcd(a,b);
x、y的解集為：
x = x1 + b / gcd(a,b) * t
y = y1 - a / gcd(a,b) * t;
(t 為任意值)
反證：
將x、y代入原式ax + by = gcd(a,b)中得：
a(x1 + b / gcd(a, b) * t) + b(y1 - a / gcd(a,b) * t) = gcd(a,b)
化簡后得：
ax1 + by1 = gcd(a,b)
所以可得解集正確
2.ax≡b (mod n)的最小解，（ax % n ≡ b 相當與 ax + ny = b）
一般情況下，ax+by=1;得 x為a mod b 的逆元，y為 b mod a的逆元
若ax=1 mod f 則稱a關於模f的乘法逆元為x。也可表示為ax≡1(mod f)。
當a與f互素時，a關於模f的乘法逆元有唯一解。如果不互素，則無解。如果f為素數，則從1到f-1的任意數都與f互素，即在1到f-1之間都恰好有一個關於模f的乘法逆元。
根據擴展歐幾里德算法可求得ax + ny = b的一組解
x = b/gcd(a,n) * x1
要求其最小整數解，可根據同解x = x1 + n/gcd(a,n) * t;
s = n / gcd(a,n)
x%s得到最一個值x1,x1可能為負數，此時x%s還需要+s
加上s后可能就不是最小值了，所以還需要在對s取余
所以最小解最終為 x = (x % s + s) % s