一、鴿巢原理的證明
1.定義：
若有n個鴿巢和kn+1只鴿子，所有的鴿子都進入鴿巢，那么至少有一個巢中有k+1只鴿子(n，k≥0)。
2.證明(反證法)：
若每個鴿巢中的鴿子數都不大於k，則總鴿子數<=kn，與已知相悖。得證。
3.拉姆齊(Ramsey)定理的證明:6個人中，要么存在三個人彼此互相認識，要么存在三個人彼此都不認識；
證明：設六個人為六個點，認識或不認識用兩種不同顏色的線段代表，因為兩人只有一種關系，所以任意一點一定會引出連向其他5點的五個線段，根據鴿巢定理，有2種關系，有2*2+1=5條關系線，即k=2，
那么必定有一種關系擁有2k+1=3條關系線，得證。
4.中國剩余定理（孫子定理）的證明：
求證：設N,M除了1以外沒有公約數(即N,M互質)，兩個數字a,b滿足0≤a<N, 0≤b<M，則恰好存在且僅存在一個數字c滿足0≤C<NM且c除以n的余數為a，除以m的余數為b。
證明(反證法)：設存在兩個不等的數0≤C1,C2<nm，使C1,C2關於N,M均同余，即
那么我們不妨設C1<C2，那么設k=C2-C1,那么顯然，C2-C1為N,M的整數倍，即k為N,M的公倍數，則有kmin=LCM[N,M]；
因為N,M互質，由LCM求值公式知，那么k=LCM[N,M]=NM；那么C2=C1+K=C1+NM>=N*M，與假設相悖。得證。
5.一些數學定理的證明：
①求證：有理數中的無限位小數在小數點后某一位必開始循環。
證明：由有理數定義我們可設該有理數為N/M(N,M∈Z且M!=0)，那么根據豎式除法的原則，求值過程中不斷更新的是分子N的值，由於不同分子都是由上次的分子對分母取模所得知，去M個不同的分子，那么根據鴿巢原理，他們中至少有兩個數關於M同余，那么下一位結果也就循環了。得證。
②求證：從1到2n中，選n + 1個數，至少有一對數，其中一個數是另一個數的倍數；
證明：將選中的n+1個數中所有的2都除掉，即除以2k，由於1-2n中只有n個奇數，一定有一對數的奇數形式是相等的。這兩個數分別是2mequal,2^nequal,因此一定一個數是另一個數的倍數。得證。
③求證：從1-2n中，選n+1個數，至少有一對數是互素的；
證明：我們可以將[1,2n]划分為n個區間[1,2],[3,4],......,[2n-1,2n],那么n+1個數中至少有兩個數來自同一區間；由相鄰兩數互質知n+1個數中，至少有一對數是互素的。
④求證：對於任意正整數 n ，都能找到一個 n 的倍數，它全由數字 0 和 1 構成，且前半部分全部為1，后半部分全部為0；
證明：我們取n個數1,11,111,1111，......,i個1，由鴿巢原理知，這n個數中對n取模至少有兩個數相同，設較大的數為M,較小的數為m，則易證n|M-m；因為M為長度大於m的1串，那么相減后M-m前半部分一定全部為1，后半部分全部為0；