ACM數論之旅14---抽屜原理，鴿巢原理，球盒原理（叫法不一又有什么關系呢╮(╯▽╰)╭）

 

這章沒有什么算法可言，單純的你懂了原理后會不會運用（反正我基本沒怎么用過￣ 3￣）

 

 

 

 

 

 

有366人，那么至少有兩人同一天出生（好孩子就不要在意閏年啦(￣▽￣")）

有13人，那么至少有兩人同一月出生

 

這就是抽屜原理

 

抽屜原理：把n+1個物品放到n個抽屜里，那么至少有兩個物品在同一個抽屜里

鴿巢原理：把n+1個鴿子放到n個鴿巢里，那么至少有兩個鴿子在同一個鴿巢里

球盒原理：把n+1個小球放到n個球盒里，那么至少有兩個小球在同一個球盒里

（你看，我都幫你們解釋里一遍(≧︶≦*)）

 

 

 

 

 

 

 

 

其實抽屜原理有兩個

第一抽屜原理

原理1： 把多於n+k個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少於兩件。

原理2 ：把多於mn(m乘以n)+1（n不為0）個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有不少於（m+1）的物體。

原理3 ：把無窮多件物體放入n個抽屜，則至少有一個抽屜里 有無窮個物體。

 

原理1 、2 、3都是第一抽屜原理的表述。

 

第二抽屜原理

把（mn－1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有（m—1）個物體(例如，將3×5-1=14個物體放入5個抽屜中，則必定有一個抽屜中的物體數少於等於3-1=2)。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

原理懂了，但是你會運用嗎？

 來看這一題

cf 577B

http://codeforces.com/problemset/problem/577/B

 

 Modulo Sum

給你一個序列a1,a2...an，再給你一個數字m

 

問你能不能從中選出幾個數，把他們相加，令這個和能夠整除m

能就是輸出YES，不能就輸出NO

 

 

 

 

 

 

 

不知道你有木有思路(O ° ω ° O )

正常講肯定是dp咯，加一點剪枝，勉強卡過了（因為CF上面都是單組數據，多組可能就超時了）

AC代碼：

#include<cstdio>
#include<cstring> 
const int N = (int)1e6 + 5;
int n, m;
int a[N];
bool dp[2][1000];//滾動數組 
bool work(){
    dp[0][a[0]] = true;
    for(int i = 1; i < n; i ++){
        memset(dp[i & 1], 0, sizeof(bool)*1000);
        dp[i & 1][a[i]] = true;
        for(int j = 0; j < m; j ++){
            if(dp[(i-1) & 1][j]){
                dp[i & 1][(j + a[i]) % m] = true;
                dp[i & 1][j] = true;
            }
        }
        if(dp[i & 1][0]) return true;
    }
    return dp[(n-1) & 1][0];
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        scanf("%d", &a[i]);
        a[i] %= m;
    }
    puts(work() ? "YES" : "NO");
}

 

 

 

 

其實這題的n雖然范圍大，但是我們可以加一個判斷，n>m的話，必然輸出YES

為什么？根據抽屜原理唄

先求前綴和求余m，

如果有m+1個數，那么就會產生m+1個前綴和，求余完m，就會有m+1個余數

我們知道求余完m會產生0~m-1總共m個余數

那么根據抽屜原理，至少有兩個相同的余數

那么他們之間的數的和求余m就肯定是0，所以n>m的話，必然輸出YES

 

比如

取兩個下標i和j（i < j）

(a1+a2+...+ai) % m = k

(a1+a2+...+aj) % m = k

那么(ai+...+aj) %m = 0

 

所以問題解決啦

 

AC代碼：

#include<cstdio>
#include<cstring> 
const int N = (int)1e6 + 5;
int n, m;
int a[N];
bool dp[2][1000];//滾動數組 
bool work(){
    if(n > m) return true;//多加這一句，TLE的代碼說不定就能AC 
    dp[0][a[0]] = true;
    for(int i = 1; i < n; i ++){
        memset(dp[i & 1], 0, sizeof(bool)*1000);
        dp[i & 1][a[i]] = true;
        for(int j = 0; j < m; j ++){
            if(dp[(i-1) & 1][j]){
                dp[i & 1][(j + a[i]) % m] = true;
                dp[i & 1][j] = true;
            }
        }
        if(dp[i & 1][0]) return true;
    }
    return dp[(n-1) & 1][0];
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        scanf("%d", &a[i]);
        a[i] %= m;
    }
    puts(work() ? "YES" : "NO");
}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

這個原理懂了，一定要學會用，要不然碰上別的題目一樣不會（又在黑自己。。。(￣▽￣")）