回想到高中的的組合學中，有這樣的問題，12個班中有13個人參加IOI的名額(前提每班至少出一個人)，那么這會有幾種分法？
一個很簡單的思路就是把這13個名額攤開，然后拿11個隔板插到這13個名額形成的12個空隙里，然后用組合數的公式即可計算。而鴿巢原理的簡單形式就和這個模型有聯系。
我們知道，如果把12只鴿子放到11個巢里面，顯然有一個巢會出現兩只鴿子，這顯而易見，同時也是鴿巢原理的最簡單的形式。
它的證明也和簡單，如果我們假設11個巢穴里最多有1個鴿子，那么各自的總數最多有11個，這一12只鴿子的已知條件是不吻合的，所以假設是錯誤的，一定會有一個巢穴會出現2個鴿子。
這里需要補充的一點的是，由於不同的人舉出不同的模型來引出原理，因此原理的名字可能有所不同，鴿巢原理還可以叫做抽屜原理，鞋盒原理。
基於對鴿巢原理最簡單模型的理解，我們再舉出幾個引用來稍微更進一步的理解這個原理的應用。
應用1：在13個人當中，一定存在2個人，他們的生日在同一個月。
類似的模型個以舉出很多，比如366個人當中一定存在兩個人是同一天生日的。 它和上面最簡單的模型是一樣的，這里證明就不再累述了。
應用2：假設有n對夫婦，那么最少挑出多少人，一定能保證挑出一對夫婦呢？
顯然是n+1個人，答案顯而易見。
應用3：給定m個整數a1，a2，a3……am，存在某個連續的序列(a1，a2，a3叫做連續序列，a1，a3，a4不是連續序列)，這個序列的各個元素的和能夠整除m。
我們先考慮所有的連續序列，有很多種情況，從a1開始組合，總數有m + (m - 1) + (m + 2)……+1,但是我們這里只需考慮從a1開始組合的連續序列。也就是考慮如下m個數。 a1 a1+a2 a1+a2+a3 a1+a2+a3+a4 …… (a1+a2+a3……+am) 我們知道，任何一個數對m取余，可能的結果只能是[0,m-1]上的整數，而如果等於零，顯然這里就符合題意了，所以我們在考慮沒有零的情況。
這m個數對m取余，有m-1種情況，所以存在某兩個數，對m取余的結果是一樣的，假設為r，有以下等式。
a1+a2……+ak = pm + r a1+a2……+al = qm + r 將這兩個式子做減法，即可得證。
應用4：一位國際象棋大師有11周來准備錦標賽，他計划每天至少下1局棋，但是考慮到疲勞度的問題，他一個周不會下超過12局棋。證明存在連續的若干天，這期間象棋大師恰好下了21局棋盤。
根據題意我們不難給出表示大師第i天下棋的總局數的一個序列——a1,a2,a3……a77，並且根據題意可知他是嚴格的遞增的。因此我們得到下面的不等式。
0<a1<a2<a3……<a77<132 序列1
同時我們在構造另外一個序列 a1+21，a2+21，a3+21……a77+21 ，將會得到下面的不等式。
21<a1+21<a2+21……<a77+21<154 序列2
現在來看a1 a2 a3 ……a77 a1+21 a2+21 a3+21 ……a77+21這154個數，他們的取值范圍是[1,153]，我們現在要任意從中取2個數字——ai，aj。那么是存在ai = aj的情況的，而根據已知的序列(a1 a2 a3 ……a77 )是嚴格單調，因此不可能在序列1或序列2同時取出ai,aj，因此我們一定是從序列1取出一個數，在序列2中取出一個數，所以有ai = aj = ak + 21，此時得證。
應用5：從1，2，3……200中顯出101個整數。證明：在所選的這些整數之間存在兩個這樣的整數。其中一個可被另一個整除。
我們從另一個角度來考慮這些數字，任何一個數字可以表示成2^k * a，其中k>=0 , a是奇數，對於[1,200],中的整數，a的所有情況有1,3,5,……199這100種情況，而我們要抽取101個數字，那么顯然，會有兩個數表示成如下的形式。 2^r * a , 2^s * a 而r != s ，此時命題得證。
應用6：設m和n是互素的正整數，並設a和b為整數，其中0<=a<=m-1 ,0<= b<=n-1。於是存在正整數x，使得x除以m的余數為a，並且x除以n的余數為b；也就是說存在一個x = pm + a， 同時x = qm + b。 為了證明我們考慮如下n個數 a a + m a+ 2m a+3m ……a+(n-1)m這n個數。
我們假設，這n個數里沒有整除n的數(如果有的話，就符合題意了)。那么現在有n個數，而余數卻有n-1種情況，根據鴿巢原理，有如下式子成立。 n = pm + a = qn + r ① n = im + a = jn + r ② 倆式相減，我們得到(p-i)m = (q - j)n，由於n與m互素，所以n應該是p-i的因子，而p≤n-1，顯然n不可能是p-i的因子，假設是不成立的。所以在這n個數中，必須要出現一個對n取余等於零的數，此時命題得證。
下面給出鴿巢原理更加一般的形式：
鴿巢原理常被用於一些最大最小值的問題當中
Ex1：
一個果籃裝有蘋果、香蕉和句子。為了保證籃子中至少有8個蘋果或者至少有6個香蕉或者至少有9個橘子，則放入籃子中的水果的最小件是多少？
分析：這個問題實際上反向利用了一般形式的鴿巢原理，即一般形式的鴿巢原理具有充要性，換言之，定理1可以如下等價的表述形式：
即這個問題的答案是8+6+9-3+1 = 21
先來看一個簡單的鴿巢原理的應用。
Your job is to help the children and present a solution.
題目大意：給你一個含有n個元素的序列a1、a2、a3、a4……an和一個整數c，讓你找一個連續的區間段(a1,a2,a3是一個連續的區間段，a1,a3,a5則不是)，使得這個區間段的所有元素的和可以整除c。 數理分析：為了解決這個問題我們考慮下面n個數字 a1 a1+a2 a1+a2+a3 a1+a2+a3+a4 a1+a2+a3+a4+a5 a1+a2+a3+a4+a5……an。
題干中明顯給出c≤n，那我們就假設c=n吧。顯然任意一個整數對c求余會得到[0,c-1]上的整數，下面我們分兩種情況來分析。
⑴如果這n個數字中對c取余得0，那么顯然滿足了條件。
⑵如果這n個數字對c取余沒有得0的情況，那么這n個數字中，要出現n-1種取余結果，那么顯然，必定存在某兩個數字對c取余的余數是相同的，我們便會得到下面的等式。(這里假設k > l,想一想，為什么不會相等)
a1+a2+a3+……ak = p*c + r ①
a1+a2+a3+……al = q*c + r ② 兩式相減我們會得到，a(l+1) + a(l+2)……+a(k) = (p - q)*c。 顯然此時我們找到了我們想要的區間。
編程實現：基於上面的數理分析，再編程實現上，我們需要得到上面討論的這n個數，然后把取模的結果作為下標，數值作為題設給定序列的下標，在構造一個記錄數組Mod，這題就可以迎刃而解。
ac代碼如下。
#include<stdio.h> #include<string.h> int main() { int Sum[100005] , Mod[100005] , A[100005]; int c , n; int i; int right , left; while(~scanf("%d%d",&c , &n) && (c || n)) { memset(Sum , 0 , sizeof(Sum)); memset(Mod , -1 , sizeof(Mod)); Mod[0] = 0; for(i = 1;i <= n;i++) { scanf("%d",&A[i]); Sum[i] = (Sum[i - 1] + A[i]) % c; if(Mod[Sum[i]] == -1) Mod[Sum[i]] = i; else { left = Mod[Sum[i]]; right = i; } } for(i = left + 1;i <= right;i++) { if(i == right) printf("%d\n",i); else printf("%d ",i); } } }
來看一道非常簡單的鴿巢原理的題目。(Problem source : 1205)
數理分析：這里就是一個上文中我們引出鴿巢原理舉出的例子。我們從糖果數最多的“某種糖果”開始分析（因為如果數目不是最多的，是非常容易構造出不間隔的序列，而數目更多的某種糖果是否是不間隔的你是不得而知的）。
我們假設最多的糖果數目是maxn，我們將這maxn個糖果排成一列，顯然構造出了maxn + 1個間隔，而我們只需要找到其他種類的糖果填掉中間的maxn - 1個間隔，就可以構造出我們所需要的序列，這里就是體現了鴿巢原理的地方。
編程實現：數理上的分析是非常簡單的，但實際編程如何進行比較呢？在輸入各種糖果並找出最大糖果數是十分好操作的，找到了最大的糖果數maxn，再如何進行比較呢？ 這里我們想，我們還需要的是maxn - 1個糖果數，有了這些糖果，我們就能構造出所需要的序列，而這maxn - 1個糖果是否是同一種糖果是無關緊要的一件事情，所以我們會得到一個判斷式：
sum - maxn ≥ maxn - 1.
可能有人會疑問，這maxn - 1個糖果的種類真的是無關緊要的么？如果某種糖果數大於了maxn，不就存在了不滿足的情況了么？ 針對第一個疑問，的確是無關緊要，因為這maxn - 1 個糖果的作用是分隔那maxn - 1個糖果 ，放入“間隔”的同時其實自己也被“隔起來了”，所以糖果種類在maxn - 1個中並不起作用。而針對第二個疑問，就更顯而易見來了，如果某種糖果大於maxn個，顯然這與我們先前的假設最大糖果數是maxn是不符的，因此無需給予考。
代碼如下。
#include<stdio.h> int main() { int n , T , maxn , i , num; __int64 sum; scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%d",&n); maxn = 0 , sum = 0; while(n--) { scanf("%d",&num); if(num > maxn) maxn = num; sum += num; } if(sum - maxn >= maxn - 1) printf("Yes\n"); else printf("No\n"); } }
參考系：《組合數學》 Richard A.Brualdi