容斥原理在集合論、概率論、組合數學中都常常出現，它是下面一個結論的推廣。
這是因為，我們分別減|A|、|B|的時候，把|AB|減掉了兩次，因此這里應該再加一次。
它的推廣形式就是容斥定理。
在給出證明之前，我們很有必要充分的理解一下這個公式的內涵。我們基於S集合上的一系列離散元素上討論不滿足m個性質的對象(元素)個數。我們假想某一種性質的具體表現為：一根絲帶，圈住了滿足這一條性質的所有元素(本質上就是畫Venn圖)，現在我們想要求的就是沒有被特定的m條絲帶圈出的元素個數。
這個定理再利用德摩根律能夠做出等價變化，它在計數、反演公式等方面發揮着重要作用。
下面開始結合一些具體的例子來拓展和深化對容斥定理的理解。
錯位排列：
首先直觀的解釋什么是錯位排列，然后我們再去探討它如何與容斥原理結合起來.
所謂錯位排列，舉個最簡單的例子，在一個宴會上，10位紳士都有着自己的帽子，將這些帽子混合起來，10位紳士各自拿了一個帽子，考察每一位紳士發現，他們手中的帽子均不是自己原本的帽子，那么這就是一種錯位排列，我們關心的是，有多少種這樣的錯位排列？
關於錯位排列，我們繼續討論一些內容。通過上面利用容斥定理這個角度看錯排，我們得到了一個概率的極限結果，現在我們討論一個易於計算錯排公式的方法。
一個具有限制位置的計數問題：
假設一天8個男生按照標號1,2…7,8的序號站隊去晨跑，第二天老師想要換一下站隊順序，要求是每個男孩前面的男孩都不是他昨天前面的男生，那么請問有多少種符合的排列方式？
簡單的講，就是說8的全排列中，不含12,23,…,78的排列個數.
