組合數學 單色三角形,,（排列組合+容斥原理）

　　題目：空間里有n個點，任意三點不共線。每兩個點之間都用紅色或者黑色線段鏈接。如果

一個三角形的三條邊同色，則這個三角形是單色三角形。對於給定的紅色線段列表，

找出單色三角形的個數。

 

　　分析：由於三角形總數C(n,3)，所以求出異色三角形個數就求出了同色三角形個數。用暴力

枚舉的方法，我們將遍歷所有的三角形，時間復雜度為O(n^3),則必定超時。而經過推敲，我們會

發現這樣的對應關系，一個異色三角形存在兩個頂點，在該三角形中與它們相鄰的兩邊是不同色

的；而對從一個頂點出發的兩條異色邊都屬於一個異色三角形。這是個一對二的關系。設第i個點

連接了ai條紅邊、n-1-ai條黑邊，這些邊一定屬於ai(n-1-ai)個不同的異色三角形。由於異色三角形

都會被考慮兩次，所以最終的答案為ans/2。這個思想只需要從第一個頂點遍歷到最后一個頂點，

所以時間復雜度是O(n)。

 

 

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;
const int maxn = 10000;
int n, m, T;
long long ans;
vector<int>s[maxn];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        s->clear();
        cin >> n >> m;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            int a, b;
            cin >> a >> b;
            s[a].push_back(b);
            s[b].push_back(a);
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            ans += (n - 1 - s[i].size())*s[i].size();
        ans /= 2;
        cout << (n*(n - 1)*(n - 2)) / 6 - ans << endl;
    }
    return 0;
}