定義
組合數
\(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)
排列
\(A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}\)
二項式定理
\((a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^{n-i}b^i\)
\(\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}\)
\((x_1+x_2+...+x_t)^n= \sum_{n_1+n_2+...n_t=n}\binom{n}{n_1n_2...n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_t^{n_t}\)
\(\sum\binom{n}{n_1n_2...n_t}=t^n\)
多重集
多重集的組合數
\(S的全排列個數為\frac{n!}{\prod_{i=1}^k n_i!}=\frac{n!}{n_1!n_2! \cdots n_k!}\)
多重組合數（多重集的排列數）
\(\binom{n}{n_1,n_2,\cdots,n_k}=\frac{n!}{\prod_{i=1}^{k}n_i!}\)
\(\binom{n}{m}=\binom{n}{m,n-m}\)
公式
求\(x_1+x_2+\cdots+x_k=r的非負數整數解的數目\)
結論：\(\binom{r+k-1}{k-1}\)
從1~n中選k個數，兩兩不相鄰的組合有幾種
結論：\(\binom{n-k+1}{k}\)
n封信放在編號不同的地方有幾種方法
結論：\(f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))\)
圓排列的公式\(Q_n^n*n=A_n^n=>Q_n=\frac{A_n^n}{n}=(n-1)!\)
部分圓排列：\(Q_n^r=\frac{A_n^r}{r}=\frac{n!}{r*(n-r)!}\)
組合數性質|二項式推論
1.對稱性：\(\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\)
2.遞推式：\(\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}\)
3.楊輝三角公式表達：\(\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1}\)
4.二項式定理特殊情況取a=b=1時得到\(\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}=2^n\)
5.二項式定理的特殊情況取a=1,b=-1時得到\(\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}=[n=0]\)
6.拆組合數的式子\(\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}\binom{m}{m-i}=\binom{m+n}{m}\)
7.上述特殊情況n=m時,\(\sum_{t=0}^n\binom{n}{i}^2=\binom{2n}{n}\)
8.（3）對應多項式函數求導\(\sum_{i=0}^ni\binom{n}{i}=n2^{n-1}\)
9.多項式函數求導證明\(\sum_{i=0}^ni^2\binom{n}{i}=n(n+1)2^{n-2}\)
10.組合式意義證明\(\sum_{l=0}^{n}\binom{l}{k}=\binom{n+1}{k+1}\)
11.定義證明\(\binom{n}{r}\binom{r}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{r-k}\)
12.斐波那契數列\(\sum_{i=0}^{n}\binom{n-i}{i}=F_{n+1}\)
13.組合分析\(S=a_1,a_2,a_3,...,a_{n+1}\)的k+1子集數\(\sum_{l=0}^{n}\binom{l}{k}=\binom{n+1}{k+1}\)