定义
组合数
\(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)
排列
\(A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}\)
二项式定理
\((a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^{n-i}b^i\)
\(\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}\)
\((x_1+x_2+...+x_t)^n= \sum_{n_1+n_2+...n_t=n}\binom{n}{n_1n_2...n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_t^{n_t}\)
\(\sum\binom{n}{n_1n_2...n_t}=t^n\)
多重集
多重集的组合数
\(S的全排列个数为\frac{n!}{\prod_{i=1}^k n_i!}=\frac{n!}{n_1!n_2! \cdots n_k!}\)
多重组合数（多重集的排列数）
\(\binom{n}{n_1,n_2,\cdots,n_k}=\frac{n!}{\prod_{i=1}^{k}n_i!}\)
\(\binom{n}{m}=\binom{n}{m,n-m}\)
公式
求\(x_1+x_2+\cdots+x_k=r的非负数整数解的数目\)
结论：\(\binom{r+k-1}{k-1}\)
从1~n中选k个数，两两不相邻的组合有几种
结论：\(\binom{n-k+1}{k}\)
n封信放在编号不同的地方有几种方法
结论：\(f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))\)
圆排列的公式\(Q_n^n*n=A_n^n=>Q_n=\frac{A_n^n}{n}=(n-1)!\)
部分圆排列：\(Q_n^r=\frac{A_n^r}{r}=\frac{n!}{r*(n-r)!}\)
组合数性质|二项式推论
1.对称性：\(\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\)
2.递推式：\(\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}\)
3.杨辉三角公式表达：\(\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1}\)
4.二项式定理特殊情况取a=b=1时得到\(\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}=2^n\)
5.二项式定理的特殊情况取a=1,b=-1时得到\(\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}=[n=0]\)
6.拆组合数的式子\(\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}\binom{m}{m-i}=\binom{m+n}{m}\)
7.上述特殊情况n=m时,\(\sum_{t=0}^n\binom{n}{i}^2=\binom{2n}{n}\)
8.（3）对应多项式函数求导\(\sum_{i=0}^ni\binom{n}{i}=n2^{n-1}\)
9.多项式函数求导证明\(\sum_{i=0}^ni^2\binom{n}{i}=n(n+1)2^{n-2}\)
10.组合式意义证明\(\sum_{l=0}^{n}\binom{l}{k}=\binom{n+1}{k+1}\)
11.定义证明\(\binom{n}{r}\binom{r}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{r-k}\)
12.斐波那契数列\(\sum_{i=0}^{n}\binom{n-i}{i}=F_{n+1}\)
13.组合分析\(S=a_1,a_2,a_3,...,a_{n+1}\)的k+1子集数\(\sum_{l=0}^{n}\binom{l}{k}=\binom{n+1}{k+1}\)