<組合數學>排列組合(1)/格路模型，范德蒙德恆等式

 

1.排列(permutation)：

　　從n個不同的元素中，取出r個不重復的元素，按次序排列，稱為從n個中取r個的無重排列。

　　排列的個數用P(n,r)表示或P^r_n     n>=r       //高中的時候教材教我們A^r_n ，跟這里的一樣。

　　P(n,r) = n!/r!

　　排列的基本問題是“n個不同球放r個不同盒”問題。

2.組合(conmutation)：

　　從n個不同的元素中，取出r個不重復的元素組成一個子集而不考慮其元素的順序，稱為從n個中取r個的無重組合。

　　組合的個數用C(n,r)表示或C^r_n     n>=r

　　C(n,r)=n! / [r!*(n-r)!]

　　組合的基本問題是“n個不同球放r個相同盒”問題。

　　兩個性質：

　　　　|—— C(n,r) = C(n,n-r)           //C(8,3)=C(8,5)

　　　　|—— C(n,l)*C(l,r) = C(n,r)*C(n-r,l-r) //C(9,5)*C(5,2)=C(9,2)*C(7,3)

 

3.格路模型與組合恆等式：

組合數學有一個研究方向就是研究組合恆等式。

 

格路模型

我們把從（0，0）到（m，n）的路徑用一個形如“xxyxyyxy...xyy”的字符串表示。

則字符串長度為m+n，有m個‘x’，n個‘y’。

 

楊輝三角用於格路模型

在楊輝三角中，第n行對應着(a+b)ⁿ的系數，第n行第r列的數值是C(n,r)

 

 

范德蒙德恆等式