范德蒙矩陣相關

一、
范德蒙矩陣的形式

二、代碼如下
范德蒙矩陣

x=[-1 0 1 2 3]'; %定義5維列向量x
for i=1:1:5      %行控制變量i從1~5，步長為1
for j=1:1:5      %列控制變量j從1~5，步長為1
A(i,j)=x(i)^(j-1); %對矩陣元素A(i,j)賦值
end
end

三、matlab自有代碼
vander

todo:以后再了解吧

四、嘿嘿嘿，得來全不費工夫
上午不了解的問題，偶然之間竟然發現了解決辦法，趕緊來記錄一下
從行列式開始
范德蒙行列式是長這個樣子滴：

然后呢，它的轉置也叫做范德蒙行列式：

為什么呢？
因為矩陣轉置，行列式的值不會變
這里我就不推導了，直接給出范德蒙行列式的值：

這是什么意思呢？

假設有如下的范德蒙方陣：

那么它的行列式等於：(3-2)(5-2)(5-3)=6
假設4階范德蒙行列式中有四個數2，3，5，7那么就等於(3-2)(5-2)(7-2)(5-3)(7-3)(7-5)=240

考試中經常出現與范德蒙行列式類似的結構，它們就差了那么一點點，我們需要做的就是將之轉化為
標准的范德蒙行列式便於計算。這里我舉一個例子。

上面這個行列式長得太像范德蒙矩陣了，只是沒有三次項，我們給它補上。

這里除了補上三次項，還有未知數x，為什么呢？當然首先是只有方陣才有行列式。

這樣整個行列式的值為：

我們僅看 x^3 項的系數（負的原行列式的值）就是答案：

怎么理解呢？原因就是代數余子式按列展開等於行列式的值
（1,x,x^2,x3,x^4）T按列展開一次得到對應級次的系數，我們這里只取x^3的系數就是對應上
上個矩陣行列式的值了。
性質
范德蒙矩陣的性質不多，有兩條值得說一下：

范德蒙矩陣與多項式的最小二乘擬合
最后我想談一談范德蒙矩陣在多項式的最小二乘擬合中的應用

用一個多項式去擬合若干個點：

假設有n個采樣點，擬合次數為k次，那么方差可以表示為：

為求得方差的極小值，對a0,...ak依次求偏導為0。

移項

看起來很亂，寫成矩陣形式試試：

em...這就是個什么矩陣，看起來好復雜滴

哈哈，我們觀察變形一下：

上面的矩陣可以寫成范德蒙矩陣相乘的形式哦！

X是豎着的范德蒙矩陣。這樣向量a等於：

這里有個很關鍵的點，范德蒙矩陣不一定是個方陣，即采樣點多於擬合多項式的最高次數，不是方陣
就沒有逆，但是只要不存在相同的兩個采樣點，那么
一定是存在逆矩陣的，多項式的系數向量a也可表示出來了。

**這就是基於最小二乘法的多項式擬合原理！ **
【1】文檔下載
http://www.360doc.com/content/19/0426/19/36378025_831671159.shtml
【2】范德蒙矩陣百度文庫
【3】https://blog.csdn.net/weixin_28968629/article/details/113037172