設 x3 + px + q = 0 的根為 x1、x2、x3。即 (x - x1)(x - x2)(x - x3) = x3 + px + q = 0，展開可得：
x1 + x2 + x3 = 0 ①
x1x2 + x1x3 + x2x3 = p ②
x1x2x3 = -q ③
展開 (x1 + x2 + x3 )2 ，並結合 ① 和 ②，可得：
x12 + x22 + x32 = -2p ④
x3 = 1 的三個根 1、ω、ω2 滿足 ω3 = 1 和 1 + ω + ω2 = 0
於是：
3x1 = (x1 + x2 + x3) + (x1 + ωx2 + ω2x3) + (x1 + ω2x2 + ωx3)
3x2 = (x1 + x2 + x3) + ω2(x1 + ωx2 + ω2x3) + ω(x1 + ω2x2 + ωx3)
3x3 = (x1 + x2 + x3) + ω(x1 + ωx2 + ω2x3) + ω2(x1 + ω2x2 + ωx3)
記 u = x1 + ωx2 + ω2x3，v = x1 + ω2x2 + ωx3，則
3x1 = u + v
3x2 = ω2u + ωv
3x3 = ωu + ω2v
uv = (x1 + ωx2 + ω2x3)(x1 + ω2x2 + ωx3)
= x12 + x22 + x32 - (x1x2 + x1x3 + x2x3)
= -2p - p = -3p
以上可以看到 u、v、u + v、uv 中，只有 uv 是 x1、x2、x3 的對稱多項式。
記 U = u3，V = v3，則 UV = (uv)3 = -27p3，顯然也是 x1、x2、x3 的對稱多項式。
考察 U + V 的情形：
U + V = u3 + v3 = (u + v)(u2 - uv + v2)
先計算 u2 和 v2：
u2 = (x1 + ωx2 + ω2x3)(x1 + ωx2 + ω2x3)
= x12 + ω2x22 + ωx32 + 2ωx1x2 + 2ω2x1x3 + 2x2x3
v2 = (x1 + ω2x2 + ωx3)(x1 + ω2x2 + ωx3)
= x12 + ωx22 + ω2x32 + 2ω2x1x2 + 2ωx1x3 + 2x2x3
u2 + v2 = 2x12 - (x22 + x32) - 2(x1x2 + x1x3) + 4x2x3
= 2x12 + (x12 + 2p) - 2(p - x2x3) + 4x2x3
= 3x12 + 6x2x3
於是：
U + V = (u + v)(u2 - uv + v2)
= 3x1(3x12 + 6x2x3 + 3p)
= 9x13 + 9px1 - 18q
= 9(x13 + px1 + q) - 27q
= -27q
因而 U + V 也是x1、x2、x3 的對稱多項式。
U + V = -27q，UV = -27p3，由一元二次方程可求出 U 和 V，進而求出 u 和 v，最終可求出 x1、x2、x3。