今天看到個有點意思的東西（
對於正整數 \(n\)，下式是關於 \(x,y,z_1,\cdots,z_n\) 的恆等式。
\[(x+y)(x+y+z_1+\cdots+z_n)^{n-1}=xy\sum_{I\subseteq[n]}\left(x+\sum_{i\in I}z_i\right)^{|I|-1}\left(y+\sum_{i\notin I}z_i\right)^{n-|I|-1} \]
引理 1. \(n\) 個點的有標號無根樹與 \([n]^{n-2}\) 存在雙射，且 \(i\) 的出現次數為 \(d_i-1\)，其中 \(d_i\) 表示 \(i\) 號點在樹中的度數。
此即為經典的 Prüfer 序列。
引理 2. 設 \(\mathcal T\) 表示 \(n\) 個點的有標號無根樹的集合，則
\[(x_1+\cdots+x_n)^{n-2}=\sum_{T\in\mathcal T}\prod_{i=1}^nx_i^{d_T(i)-1} \]
此即為引理 1 的生成函數形式。
考慮證明原式。將 \(x,y,z_1,\cdots,z_n\) 看作樹上的點，設 \(\mathcal T'\) 表示 \(x,y\) 之間有邊的有標號無根樹集合，則原式右邊即為 \(\displaystyle\sum_{T\in\mathcal T'}x^{d_T(x)-1}y^{d_T(y)-1}\prod_{i=1}^nz_i^{d_T(z_i)-1}\)。對應到 Prüfer 序列，規定編號的大小順序是 \(z_1<\cdots<z_n<x<y\)，則等價於 Prüfer 序列的最后一項為 \(x\) 或 \(y\)。\(\square\)