其實是昨天計應數課上的一個東西引出的, 總之, 我們要證明
\[\sum_r \frac 1{n-r} \binom r k = \binom n k (H_n - H_k). \]
首先我們需要證明一個 Lemma:
\[\sum_r \frac{(-1)^{r-1}}r \binom n r = H_n \]
其實很簡單:
\[\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \begin{align*} &= \sum_r \binom n r \int_{-1}^{0} t^{r-1} \dif t\\ &= \int_{-1}^{0} \frac{(1+t)^n-1}t\dif t\\ &= \int_0^1 \frac{t^n-1}{t-1} \dif t\\ &= \int_0^1 (1 + t + \cdots + t^{n-1}) \dif t\\ & = H_n \end{align*} \]
然后讓我們來看看原式. 首先其可以看做下式的 \(y^k\) 次項系數:
\[\begin{align*} &\quad \int_0^1 \sum_r (1+y)^r t^{n-r-1} \dif t\\ &= \int_0^1 \frac{(1+y)^n-t^n}{1+y-t} \dif (t-y-1)\\ &= \int_{-y-1}^{-y} \frac{(1+y)^n-(t+y+1)^n}{-t} \dif t\\ &= \int_{-y-1}^{-y} \sum_r \binom n r (1+y)^{n-r} t^{r-1} \dif t\\ &= \sum_r \frac{(-1)^{r-1}}{r} \binom n r \left[ (1+y)^n - (1+y)^{n-r}y^r \right]\\ &= (1+y)^n H_n - \sum_r \frac{(-1)^{r-1}}{r} \binom n r (1+y)^{n-r}y^r \end{align*} \]
其第 \(y^k\) 次項是
\[\begin{align*} &\quad \binom n k H_n - \sum_r \frac{(-1)^{r-1}}{r} \binom n r \binom{n-r}k\\ &= \binom n k H_n - \sum_r \frac{(-1)^{r-1}}{r} \binom k r \binom n k\\ &= \binom n k (H_n - H_k). \end{align*} \]