組合數恆等式
本蒟蒻太弱了。。為了不誤導。。這個博客僅供個人使用。。
排列數：在n個元素中選m個元素作為排列，排列數顯然是\(n^{\underline m}=\frac{n!}{(n-m)!}\)。
組合數：在n個元素中選出m個作為集合，不同的集合數為\(\binom{n}{m}\)。由於一個集合對應m個排列，一個排列唯一對應一個集合，\(\binom{n}{m}=\frac{n^{\underline m}}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)。
重復組合數：選m次，每次在n個元素中選出一個丟到可重集中，重復組合數就是不同的可重集數。我們可以想象n個格子，每次在n個格子中丟進一個數，總共丟m個數，這樣的方案數就是重復組合數。利用插板法，n-1個板和m個數一起排列的方案數是\((m+n-1)!\)。又由於小球之間，隔板之間都是不區分的，因此排列數要除以\(m!(n-1)!\)，答案是\(\frac{(m+n-1)!}{m!(n-1)!}=\binom{m+n-1}{m}\)。
組合數性質公式：
-
\(\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\)。這是由於，在n個元素中任選m個元素所構成的集合，總是對應另外n-m個元素組成的集合。因此，n選m的集合數就是n選n-m的集合數。
-
\(\binom{n+1}{m}=\binom{n}{m}+\binom{n}{m-1}\)。n+1個元素中選m個數構成的集合有兩種，一種是包含第n+1個元素的，數量為\(\binom{n}{m-1}\)。另一種是不包含第n+1個元素的集合，數量為\(\binom{n}{m}\)。因此，集合的總數量是\(\binom{n+1}{m}\)。
-
一些\(\binom{n}{m}\)遞推到上一個/下一個組合數的公式，qwq不寫了。
-
底不變頂變化：\(\binom{n+1}{r+1}=\binom{n}{r}+\binom{n-1}{r}+...+\binom{r+1}{r}+\binom{r}{r}\)。可以感性理解一下：先欽定第n+1個元素必選，那么剩下的集合數是\(\binom{n}{r}\)。再欽定第n+1個元素不選，第n個元素選，那么剩下的集合數就是\(\binom{n-1}{r}\)……以此類推即可。
-
頂不變底變化：\(\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{n}=2^n\)。用二項式定理\((a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i}\)，那么\((1+1)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}=2^n\)。形象的理解一下，可以理解為有n個0/1數，總共有\(2^n\)個狀態，每個狀態，相當於在n個數中選值為1的數。
-
\(A=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+...=B=\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+...\)。用二項式定理：\(A+B=(1+1)^n,A-B=(1-1)^n=0\)，因此可得\(A=B=2^{n-1}\)。
P.S：從這里可以看出二項式定理和組合數有着密切（？）聯系。
-
\(0\binom{n}{0}+1\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+...+n\binom{n}{n}=n2^{n-1}\)。用類似於高斯求和的方法就行了。
-
類似於卷積的形式：\(\sum_{i=0}^r\binom{m}{i}\binom{n}{r-i}=\binom{n+m}{r}\)。相當於分別從n個元素和m個元素中取r個元素的一個組合，各項之和就是所有選法。它還有推論：\(\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}^2=\binom{2n}{n}\)。