原理概述：
有ｎ只鴿子和ｍ個鴿洞，所有鴿子都住在鴿洞里，如果ｎ＞ｍ，那么至少有二只鴿子必須住在同一鴿洞里。
函數觀點：
把鴿子看成是定義域Ａ中元素ａi，鴿洞看成是值域Ｂ中的元素ｂj，鴿子住鴿洞作為函數關系。
鴿洞原理：
設ｆ是從有限集Ａ到有限集Ｂ的函數，若｜Ａ｜＞｜Ｂ｜，則必有ａ1，ａ2∈Ａ，ａ1≠ａ2，使ｆ（ａ1）＝ｆ（ａ2）＝b∈Ｂf 包含於Ｂ（Ｂf是象域）。
反證：若對任意ａ1，ａ2∈Ａ，ａ1≠ａ2，ｆ（ａ1）≠ｆ（ａ2），｜Ａ｜＝｜Ｂf｜≤｜Ｂ｜與｜Ａ｜＞｜Ｂ｜矛盾
注：
鴿洞原理本質上是對一個非一對一函數的充分性判別。
這個原理看上去容易理解，且有廣泛的應用。
例１：在ｎ2＋１個不同整數的任意排列中，證明一定存在長為ｎ＋１的上升子序列或下降子序列。
證明：
設此序列為：ａ1，ａ2，…，ａk，…，從ａk開始上升子序列長度為ｘk，下降子序列長度為ｙk，每一個ａk（ｋ＝１，２，…，ｎ２＋１）都對應了（ｘk，ｙk）。
若不存在長為ｎ＋１的上升或下降子序列，那么ｘk ≤ｎ，ｙk≤ｎ，形如（ｘk，ｙk）的不同點對至多有ｎ2個，而ａk有ｎ2＋１個，必有ａi，ａj（１≤ｉ＜ｊ≤ｎ＋１）同時對應（ｘi，ｙi）＝（ｘj，ｙj）。
由於ａi≠ａj，若ａi＜ａj，則ｘi至少比ｘj大１，若ａi＞ａj，則ｙi至少比ｙj大１，與（ｘi，ｙj）＝（ｘj，ｙj）矛盾。
例２： １３２個球放入７７個盒子內，每盒至少放一球，求證：一定有２１個球放在相鄰的某幾只盒子里。
證明：
設第ｋ個盒子里放的球為ｂk，得到ｂ1，ｂ2，…，ｂ77，按題意，欲尋找ｉ和ｊ，ｉ＞ｊ≥０，使ｂj+1＋ｂj+2＋…＋ｂi＝２１，即完成證明。
設ａk＝，得到ａ1，ａ2，…，ａ77，顯然，｛ａk｝是嚴格單調上升的，ａi≠ａj （ｉ≠
設 Ｃk＝，得到Ｃ1，Ｃ2，…，Ｃ77，｛Ｃk｝也是嚴格單調上升的，Ｃi≠Ｃj （ｉ≠ｊ），且Ｃ77＝１５３，Ｃi＝ａi＋２１。
｛ａk｝與｛Ｃk｝合在一起共有１５４個，但只能在１～１５３中取值，由鴿洞原理，必有二個相同，且不會同是ａk中的，也不會同是Ｃk中的，不妨ａi＝Ｃj＝ａj＋２１，ａi－ａj＝２１，即，得到ｂj+1 ＋ｂj+2＋…＋ｂi＝２１。
例３：
設ｘ1，ｘ2，…，ｘn是任意排列的任意整數，證明其中存在連續的若干個數，它們之和是ｎ的倍數。
證明： 設ａi＝
若ａi中有ｎ的倍數，則命題成立
若ａi中沒有ｎ的倍數，由ｎ除ａi的余數只能在１～ｎ－１中取
以ａi（ｉ＝１，２，…，ｎ）作鴿子，１～ｎ－１作鴿洞，ａi，ａj，使ａi≡ａj（ｍｏｄｎ）（ｉ＞ｊ），則 ｎ｜（ａi－ａj）， 即ｘj+1＋ｘj+2＋…＋ｘi是ｎ的倍數。
摘錄自百度文庫：鴿子洞原理