設 \(t\) 為 \(m\) 個集合中的元素
在考慮集合個數為 \(1\) 的時候，\(t\) 被加了 \(C_m^1\) 次
在考慮集合個數為 \(2\) 的時候，\(t\) 被減了 \(C_m^2\) 次
在考慮集合個數為 \(3\) 的時候，\(t\) 被加了 \(C_m^3\) 次
...
\(t\) 總共被加了 \(C_m^1-C_m^2+C_m^3-C_m^4+\cdots \pm C_m^m\) 次
（\(m\) 為奇數時為 \(+C_m^m\)，偶數時為 \(-C_m^m\)）
上面的式子可以寫成
\[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^m -1 \times (-1)^i C_m^i \\ =&-\sum_{i=1}^m (-1)^i C_m^i \quad \dots(\mathrm{I}) \end{aligned} \]
由二項式定理得
\[(-1+1)^m=\sum_{i=0}^m (-1)^i \cdot 1^{m-i} \cdot C_m^i=\sum_{i=0}^m (-1)^i C_m^i=1 \]
所以
\[(\mathrm{I})=-\left[ (-1+1)^m -C_m^0 \right]=1 \]
所以 \(t\) 被加了 \(1\) 次，所以容斥原理正確