昨天做了一個求[1,n]里能被[2,m]中的數整除的個數，就去搜容斥原理，找到一篇講得特別好的博客，就轉載了其中一部分過來。
轉載：https://blog.csdn.net/m0_37286282/article/details/78869512
關於集合的原理公式
上述描述的公式形式可以表示如下：
它可以寫得更簡潔一些，我們將B作為所有Ai的集合，那么容斥原理就變成了：
這個公式是由 De Moivre (Abraham de Moivre)提出的。
關於概率論的原理
設事件
，
代表發生某些事件的概率（即發生其中至少一個事件的概率），則：
這個公式也可以用B代表Ai的集合：
對於實際問題的應用
一個簡單的排列問題
由0到9的數字組成排列，要求第一個數大於1，最后一個數小於8，一共有多少種排列？
我們可以來計算它的逆問題，即第一個元素<=1或者最后一個元素>=8的情況。
我們設第一個元素<=1時有X組排列，最后一個元素>=8時有Y組排列。那么通過容斥原理來解決就可以寫成：
經過簡單的組合運算，我們得到了結果：
然后被總的排列數10!減，就是最終的答案了。
（0,1,2）序列問題
長度為n的由數字0，1，2組成的序列，要求每個數字至少出現1次，這樣的序列有多少種？
同樣的，我們轉向它的逆問題。也就是不出現這些數字的序列 不出現其中某些數字的序列。
我們定義Ai(i=0…2)表示不出現數字i的序列數，那么由容斥原理，我們得到該逆問題的結果為：
可以發現每個Ai的值都為2^n（因為這些序列中只能包含兩種數字）。而所有的兩兩組合
都為1（它們只包含1種數字）。最后，三個集合的交集為0。（因為它不包含數字，所以不存在）
要記得我們解決的是它的逆問題，所以要用總數減掉，得到最終結果：
方程整數解問題
給出一個方程：
其中
。
求這個方程的整數解有多少組。
我們先不去理會xi<=8的條件，來考慮所有正整數解的情況。這個很容易用組合數來求解，我們要把20個元素分成6組，也就是添加5塊“夾板”，然后在25個位置中找5塊“夾板”的位置。
然后通過容斥原理來討論它的逆問題，也就是x>=9時的解。
我們定義Ak為xk>=9並且其他xi>=0時的集合，同樣我們用上面的添加“夾板”法來計算Ak的大小，因為有9個位置已經被xk所利用了，所以：
然后計算兩個這樣的集合Ak、Ap的交集：
因為所有x的和不能超過20，所以三個或三個以上這樣的集合時是不能同時出現的，它們的交集都為0。最后我們用總數剪掉用容斥原理所求逆問題的答案，就得到了最終結果：
求指定區間內與n互素的數的個數：
給出整數n和r。求區間[1;r]中與n互素的數的個數。
去解決它的逆問題，求不與n互素的數的個數。
考慮n的所有素因子pi(i=1…k)
在[1;r]中有多少數能被pi整除呢？它就是：
然而，如果我們單純將所有結果相加，會得到錯誤答案。有些數可能被統計多次（被好幾個素因子整除）。所以，我們要運用容斥原理來解決。
我們可以用2^k的算法求出所有的pi組合，然后計算每種組合的pi乘積，通過容斥原理來對結果進行加減處理。
關於此問題的最終實現：
1 int solve (int n, int r) { 2 vector<int> p; 3 for (int i=2; i*i<=n; ++i) 4 if (n % i == 0) { 5 p.push_back (i); 6 while (n % i == 0) 7 n /= i; 8 } 9 if (n > 1) 10 p.push_back (n); 11 int sum = 0; 12 for (int msk=1; msk<(1<<p.size()); ++msk) { 13 int mult = 1,bits = 0; 14 for (int i=0; i<(int)p.size(); ++i) 15 if (msk & (1<<i)) { 16 ++bits; 17 mult *= p[i]; 18 } 19 int cur = r / mult; 20 if (bits % 2 == 1) 21 sum += cur; 22 else 23 sum -= cur; 24 } 25 return r - sum; 26 } 27
算法的復雜度為 
。
求在給定區間內，能被給定集合至少一個數整除的數個數
給出n個整數ai和整數r。求在區間[1;r]中，至少能被一個ai整除的數有多少。
解決此題的思路和上題差不多，計算ai所能組成的各種集合（這里將集合中ai的最小公倍數作為除數）在區間中滿足的數的個數，然后利用容斥原理實現加減。
此題中實現所有集合的枚舉，需要2^n的復雜度，求解lcm需要O(nlogr)的復雜度。