分治算法求解循環賽問題

一.分治算法的基本思想

　　當我們求解某些問題時，由於這些問題要處理的數據相當多，或求解過程相當復雜，使得直接求解法在時間上相當長，或者根本無法直接求出。對於這類問題，我們往往先把它分解成幾個子問題，找到求出這幾個子問題的解法后，再找到合適的方法，把它們組合成求整個問題的解法。如果這些子問題還較大，難以解決，可以再把它們分成幾個更小的子問題，以此類推，直至可以直接求出解為止。這就是分治策略的基本思想。

二.分治算法求解問題的步驟

　　(1)  分解，將要解決的問題划分成若干規模較小的同類問題;
　　(2)  求解，當子問題划分得足夠小時，用較簡單的方法解決;
　　(3)  合並，按原問題的要求，將子問題的解逐層合並構成原問題的解。

三.分治算法的應用場景

運用分治策略解決的問題一般來說具有以下特點:
　　(1)  原問題可以分解為多個子問題這些子問題與原問題相比，只是問題的規模有所降低，其結構和求解方法與原問題相同或相似。
　　(2)  原問題在分解過程中，遞歸地求解子問題由於遞歸都必須有一個終止條件，因此，當分解后的子問題規模足夠小時，應能夠直接求解。
　　(3)  求解並得到各個子問題的解后應能夠采用某種方式、方法合並或構造出原問題的解。

四.循環賽日程表問題

問題：設有n=2^k個球隊參加循環賽，要求設計一個滿足以下要求比賽日程表：
　　(1)  每支球隊必須與其他n-1支球隊各賽一次；
　　(2)  每支球隊一天只能參賽一次；
　　(3)  循環賽在n-1天內結束。

　　按此要求將比賽日程表設計成有 n 行和 n 列的一個表。在表中的第 i 行，第 j 列處填入為第 i 個球隊在第 j 天所遇到的球隊。其中 1 ≤ i ≤ n，2 ≤ j ≤ n。8 個球隊的比賽日程表如下圖：

　　

五.分治法求解循環賽問題

/**
 * 分治算法：循環賽日程表
 * 題目：2^n支球隊，進行循環賽，要求如下：
 * (1)每支球隊必須與其他n-1支球隊各賽一次；
 * (2)每支球隊一天只能參賽一次；
 * (3)循環賽在n-1天內結束。
 * @author Administrator
 *
 */
public class Dispatch {
    /**
     * 循環賽日程安排
     * @param table 循環賽日程表
     * @param n 球隊的數量
     */
    private void scheduleTable(int [][] table,int n) {
        //只有一支球隊
        if(n==1) {
            table[0][0]=1;
        }else {
            //填充左上區域矩陣
            int m=n/2;
            //遞歸確定左上區域矩陣
            scheduleTable(table, m);//既就是m支球隊進行循環賽
            //填充右上區域矩陣
            //根據已經填充的左上區域，來確定右上區域矩陣
            for(int i=0;i<m;i++) {
                for(int j=m;j<n;j++) {
                    table[i][j]=table[i][j-m]+m;
                }
            }
            
            //填充左下區域矩陣
            //根據右上區域矩陣填充左下區域矩陣
            for(int i=m;i<n;i++) {
                for(int j=0;j<m;j++) {
                    table[i][j]=table[j][i];
                }
            }
            
            //填充右下區域矩陣
            //根據左上區域矩陣填充右下區域矩陣
            for(int i=m;i<n;i++) {
                for(int j=m;j<n;j++) {
                    table[i][j]=table[i-m][j-m];
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int n=16;  //球隊
        int [][] table=new int[n][n];
        Dispatch dispatch=new Dispatch();
        dispatch.scheduleTable(table, n);
        
        //打印結果
        for(int i=0;i<table.length;i++) {
            for(int j=0;j<table[i].length;j++) {
                System.out.print(table[i][j]+" ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

}

六.測試結果

　　16支球隊循環賽日程安排如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11 14 13 16 15 
3 4 1 2 7 8 5 6 11 12 9 10 15 16 13 14 
4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 16 15 14 13 
5 6 7 8 1 2 3 4 13 14 15 16 9 10 11 12 
6 5 8 7 2 1 4 3 14 13 16 15 10 9 12 11 
7 8 5 6 3 4 1 2 15 16 13 14 11 12 9 10 
8 7 6 5 4 3 2 1 16 15 14 13 12 11 10 9 
9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 
10 9 12 11 14 13 16 15 2 1 4 3 6 5 8 7 
11 12 9 10 15 16 13 14 3 4 1 2 7 8 5 6 
12 11 10 9 16 15 14 13 4 3 2 1 8 7 6 5 
13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 
14 13 16 15 10 9 12 11 6 5 8 7 2 1 4 3 
15 16 13 14 11 12 9 10 7 8 5 6 3 4 1 2 
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1