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循環賽日常表算法（N可為奇數和偶數）

本文轉載自   查看原文   2015-01-08 21:53   2558    算法設計與分析

 

一、 實驗題目

設有n位選手參加網球循環賽，循環賽共進行n-1天，每位選手要與其他n-1位選手比賽一場，且每位選手每天必須比賽一場，不能輪空。試按此要求為比賽安排日程。

二、實驗目的

1．深刻理解並掌握“分治算法”的設計思想；

2．提高應用“分治算法”設計技能；

3．理解這樣一個觀點：用遞歸方法編寫的問題解決程序具有結構清晰，可讀性強等優點，且遞歸算法的設計比非遞歸算法的設計往往要容易一些，所以當問題本身是遞歸定義的，或者問題所涉及到的數據結構是遞歸定義的，或者是問題的解決方法是遞歸形式的時候，往往采用遞歸算法來解決。

三、實驗要求

1．實現《網球循環賽》問題的分治算法，並進行算法時間復雜性分析。

2．對實現的分治算法進行改進；

3．對上述改進后算法進行時間復雜性分析，通過實驗結果分析對比，得出自己的結論和總結。

 

四、實驗過程

1、算法一：

#include<stdio.h>

#define N 64

void GameTable(int k,int a[][N])

{

//n=2^k(k>=1)個選手參加比賽，二維數組a表示日程安排，數組下標從1開始

int n=2;//k=0,兩個選手比賽日程可直接求得

//求解兩個選手比賽日程，得到左上角元素

a[1][1]=1;a[1][2]=2;

a[2][1]=2;a[2][2]=1;

int i,j,t;

for(t=1;t<k;t++)//迭代處理，依次處理2^2,....,2^k個選手比賽日程

{

     int temp=n;n=n*2;

     //填左下角元素

    for(i=temp+1;i<=n;i++)

         for(j=1;j<=temp;j++)

             a[i][j]=a[i-temp][j]+temp;//左下角元素和左上角元素的對應關系

         //將左下角元素抄到右上角

         for(i=1;i<=temp;i++)

             for(j=temp+1;j<=n;j++)

                 a[i][j]=a[i+temp][(j+temp)%n];

             //將左上角元素抄到右下角

             for(i=temp+1;i<=n;i++)

                 for(j=temp+1;j<=n;j++)

                     a[i][j]=a[i-temp][j-temp];

                

                

}

for(i=1;i<=n;i++)//顯示日程表

     for(j=1;j<=n;j++)

     {

         printf("- ",a[i][j]);

         if(j==n)

             printf("n");

     }

}

void main()

{

int a[N][N];

int k;

printf("輸入選手的個數：(注意為2的平方)");

scanf("%d",&k);

GameTable(k,a);

}

2、結果驗證

當兩個選手，即k=1時

 

當4個選手時，即k=2

 

當8個選手，即k=3

 

當16個選手時，即k=16

 

時間復雜度分析：

迭代處理的循環體內部3個循環語句，每個循環語句都是一個嵌套的for循環，且它們的執行次數相同，基本語句是最內層循環體的賦值語句，即填寫比賽日程表的元素。基本執行語句的執行次數是：

T(n)=

所以時間復雜度為O(4k)

 

改進的算法：

#include<iostream>   

using namespace std;   

  

const int SIZE = 50;   

int a[SIZE][SIZE];   

  

void copy(int n);   

void tournament(int n);     

int odd(int n);  //判斷奇偶性 

void makecopy(int n);  //makecopy 與copy算法類似，但是區分了n/2為奇數或偶數的情形 

void copyodd(int n);  // 實現n/2為奇數時的復制   

  

void  main()   

{   

  

    int n;   

    int i,j;   

    cin >> n;   

    tournament(n);   

    if(odd(n))   // n為奇數和偶數輸出情況不同，要分別考慮    

    {   

        for(i = 1; i<=n; i++)   

        {   

            for(j = 1; j<=n+1; j++)   

                if(a[i][j] == n+1)   

                    cout << "0  ";   

                else  

                    cout << a[i][j] << "  " ;   

            cout << endl;   

        }   

    }   

    else  

    {   

        for(i = 1; i<=n; i++)   

        {   

            for(j = 1; j<=n; j++)   

                cout << a[i][j] << "  " ;   

            cout << endl;   

        }   

  

    }      

}   

  

void copy(int n)       

{   

    int m = n/2;   

    for(int i = 1; i<=m; i++)   

        for(int j = 1; j<=m; j++)   

        {   

            a[i][j+m] = a[i][j] + m;   

            a[i+m][j] = a[i][j+m];   

            a[i+m][j+m] = a[i][j];   

        }   

}   

  

void tournament(int n)   

{   

    if(n == 1)   

    {   

        a[1][1] = 1;   

        return;    

    }   

    if(odd(n))   

    {   

        tournament(n+1);   

        return;   

    }   

    tournament(n/2);   

    makecopy(n);   

}   

  

int  odd(int n)   

{   

if(n%2==1)

    return 1;  

else return 0;

}   

  

void makecopy(int n)  //makecopy 與copy算法類似，但是要區分n/2為奇數或偶數的情形   

{   

    if(n/2 > 1 && odd(n/2))    

        copyodd(n);   

    else  

        copy(n);   

}   

  

void copyodd(int n)        // 實現n/2為奇數時的復制   

{   

    int b[SIZE];   

    int m = n/2;   

    for(int i = 1; i<=m; i++)   

    {   

        b[i] = m+i;   

        b[m+i] = b[i];   

    }   

    for(i = 1; i<=m; i++)             

    {   

        for(int j=1; j<=m+1; j++)   

        {   

            if(a[i][j] > m)   

            {   

                a[i][j] = b[i];    

                a[m+i][j] = (b[i] + m)%n;   

            }   

            else  

                a[m+i][j] = a[i][j] + m;   

        }   

        for(j = 2; j<=m; j++)   

        {   

            a[i][m+j] = b[i+j-1];    

            a[b[i+j-1]][m+j] = i;   

        }   

    }   

} 

結果驗證：

當參賽人數為偶數 8時

 

當參賽人數為奇數  7時

 

時間復雜度：O(4k)

 

下面是一個N=8的計算過程，可以幫助理解

 問題描述：

 

     設有n=2^k個運動員要進行網球循環賽。現要設計一個滿足以下要求的比賽日程表：

        (1)每個選手必須與其他n-1個選手各賽一次；
     (2)每個選手一天只能參賽一次；
     (3)循環賽在n-1天內結束。

     請按此要求將比賽日程表設計成有n行和n-1列的一個表。在表中的第i行，第j列處填入第i個選手在第j天所遇到的選手。其中1≤i≤n，1≤j≤n-1。8個選手的比賽日程表如下圖：

 

 

     算法思路：按分治策略，我們可以將所有的選手分為兩半，則n個選手的比賽日程表可以通過n/2個選手的比賽日程表來決定。遞歸地用這種一分為二的策略對選手進行划分，直到只剩下兩個選手時，比賽日程表的制定就變得很簡單。這時只要讓這兩個選手進行比賽就可以了。如上圖，所列出的正方形表是8個選手的比賽日程表。其中左上角與左下角的兩小塊分別為選手1至選手4和選手5至選手8前3天的比賽日程。據此，將左上角小塊中的所有數字按其相對位置抄到右下角，又將左下角小塊中的所有數字按其相對位置抄到右上角，這樣我們就分別安排好了選手1至選手4和選手5至選手8在后4天的比賽日程。依此思想容易將這個比賽日程表推廣到具有任意多個選手的情形。

 

    算法步驟：

 

 

 

     (1)用一個for循環輸出日程表的第一行 for(int i=1;i<=N;i++) a[1][i] = i

 

 

 

 

     (2)然后定義一個m值，m初始化為1，m用來控制每一次填充表格時i（i表示行）和j（j表示列）的起始填充位置。

 

     (3)用一個for循環將問題分成幾部分，對於k=3，n=8，將問題分成3大部分，第一部分為，根據已經填充的第一行，填寫第二行，第二部分為，根據已經填充好的第一部分，填寫第三四行，第三部分為，根據已經填充好的前四行，填寫最后四行。for (ints=1;s<=k;s++)  N/=2; 

 

     (4)用一個for循環對③中提到的每一部分進行划分for(intt=1;t<=N;t++)對於第一部分，將其划分為四個小的單元，即對第二行進行如下划分

 

 

 

 

 

 

     同理，對第二部分（即三四行），划分為兩部分，第三部分同理。

     (5)最后，根據以上for循環對整體的划分和分治法的思想，進行每一個單元格的填充。填充原則是：對角線填充

 

 

     for(int i=m+1;i<=2*m;i++) //i控制行      

 

          for(int j=m+1;j<=2*m;j++)  //j控制列       

 

          { 

 

              a[i][j+(t-1)*m*2]= a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];/*右下角的值等於左上角的值 */ 

 

              a[i][j+(t-1)*m*2-m] =a[i-m][j+(t-1)*m*2];/*左下角的值等於右上角的值 */

         }  

     運行過程：

 

    (1)由初始化的第一行填充第二行

 

     

 

     (2)由s控制的第一部分填完。然后是s++，進行第二部分的填充

 

    

 

     (3)最后是第三部分的填充

 

     

 

     程序清單：

 

 

 

[cpp]  view plain copy
 
  1. //2d11 分治法，循環賽事日程表  
  2. #include "stdafx.h"  
  3. #include <iostream>      
  4. #include <math.h>  
  5. using namespace std;   
  6.   
  7. void Table(int k,int n,int **a);  
  8. void input(int &k);  
  9. void output(int **a,int n);  
  10.   
  11. int main()  
  12. {  
  13.     int k;  
  14.     input(k);  
  15.   
  16.     int n=1;  
  17.     //n=2k(k>=1)個選手參加比賽  
  18.     for(int i=1; i<=k; i++)  
  19.         n *= 2;  
  20.   
  21.     //根據n動態分配二維數組a  
  22.     int **a = new int *[n+1];  
  23.     for(int i=0;i<=n;i++)  
  24.     {  
  25.         a[i] = new int[n+1];  
  26.     }  
  27.   
  28.   
  29.     Table(k,n,a);  
  30.   
  31.     cout<<"循環賽事日程表為："<<endl;  
  32.     output(a,n);  
  33.   
  34.     //釋放空間  
  35.     for(int i=0;i<=n;i++)  
  36.     {  
  37.         delete[] a[i];  
  38.     }  
  39.     delete[] a;  
  40.   
  41.     return 0;  
  42. }  
  43.   
  44. void input(int &k)  
  45. {  
  46.     cout<<"請輸入k值："<<endl;  
  47.     cin>>k;  
  48. }  
  49.   
  50. void output(int **a,int n)  
  51. {  
  52.     for(int i=1; i<=n; i++)  
  53.     {  
  54.         for(int j=1; j<=n; j++)  
  55.         {  
  56.             cout<<a[i][j]<<" ";  
  57.         }  
  58.         cout<<endl;  
  59.     }  
  60. }  
  61.   
  62. void Table(int k,int n,int **a)  
  63. {  
  64.     for(int i=1; i<=n; i++)  
  65.         a[1][i]=i;//設置日程表第一行  
  66.   
  67.     int m = 1;//每次填充時，起始填充位置  
  68.     for(int s=1; s<=k; s++)  
  69.     {  
  70.         n /= 2;  
  71.         for(int t=1; t<=n; t++)  
  72.         {  
  73.             for(int i=m+1; i<=2*m; i++)//控制行  
  74.             {  
  75.                 for(int j=m+1; j<=2*m; j++)//控制列  
  76.                 {  
  77.                     a[i][j+(t-1)*m*2] = a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];//右下角等於左上角的值  
  78.                     a[i][j+(t-1)*m*2-m] = a[i-m][j+(t-1)*m*2];//左下角等於右上角的值  
  79.                 }  
  80.                   
  81.             }  
  82.         }  
  83.         m *= 2;  
  84.     }  
  85. }  

程序運行結果：

 


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