[C++] 分治法之棋盤覆蓋、循環賽日程表

一、分治的基本思想

　　將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。

　　對於一個規模為 n 的問題，若問題可以容易地解決，則直接解決，否則將其分解為 k 個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，然后將各子問題的解合並得到原問題的解。

二、用分治法求解問題的主要步驟

　　1、分解：將原問題分解為若干規模較小、相互獨立、與原問題形式相同的子問題；

　　2、解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接解決，否則，遞歸地解各個子問題；

　　3、合並：將各子問題的解合並得到原問題的解。

三、分治法實例

　　1、棋盤覆蓋

　　在一個 2^k * 2^k 個方格組成的棋盤中，有一個方格與其它的不同，若使用以下四種 L 型骨牌覆蓋除這個特殊方格的其它方格，如何覆蓋。四個 L 型骨牌如下圖：

圖1.1 L型骨牌

       棋盤中的特殊方格如圖：

圖1.2 存在特殊方格的棋盤

　　覆蓋完成后的棋盤：

圖1.3 覆蓋完成的棋盤

#include<iostream>
using namespace std;

int tile = 0;
int Board[4][4];    //棋盤 

/*
tr:棋盤左上角方格的行號 
tc:棋盤左上角方格的列號
dr:特殊方格所在的行號 
dc:特殊方格所在的列號
size:棋盤的規格（size * size)
*/
void ChessBoard(int tr,int tc , int dr, int  dc, int size)
{
    if(size == 1) return;
    int t =tile++,        //L型骨牌號 
        s = size/2;        //分割棋盤 
    //覆蓋左上角子棋盤 
    if(dr < tr+s && dc < tc+s)
        //特殊方格在此棋盤中 
        ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s);
    else
    {    //此棋盤中無特殊方格
        //用t號L型骨牌覆蓋右下角 
        Board[tr+s-1][tc+s-1] = t;
        //覆蓋其余方格 
        ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s);
    }
    
    //覆蓋右上角子棋盤
    if(dr < tr+s && dc >= tc+s)
        //特殊方格在此棋盤中
        ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);
    else
    {    //此棋盤中無特殊方格
        //用t號L型骨牌覆蓋左下角
        Board[tr+s-1][tc+s] = t;
        //覆蓋其余方格 
        ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
    }
    
    //覆蓋左下角子棋盤
    if(dr >= tr+s && dc < tc+s)
        //特殊方格在此棋盤中
        ChessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);
    else
    {    //此棋盤中無特殊方格
        //用t號L型骨牌覆蓋右上角
        Board[tr+s][tc+s-1] = t;
        //覆蓋其余方格 
        ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
    }
    
    //覆蓋右下角子棋盤
    if(dr >= tr+s && dc >= tc+s)
        //特殊方格在此棋盤中
        ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
    else
    {    //此棋盤中無特殊方格
        //用t號L型骨牌覆蓋左上角
        Board[tr+s][tc+s] = t;
        //覆蓋其余方格 
        ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
    }

}

int main()
{
    ChessBoard(0 , 0 , 1 , 3 , 4);
    //輸出覆蓋完成后的棋盤
    for(int i = 0 ; i < 4; i++)
    {
        for(int j = 0 ; j < 4; j++)
        {
            cout<<Board[i][j];
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

　　2、循環賽日程表

　　設有 n = 2^k 個運動員要進行網球循環賽。現要設計一個滿足以下要求的比賽日程表：

　　　　(1)每個選手必須與其他n-1個選手各賽一次；

　　　　(2)每個選手一天只能參賽一次；

　　　　(3)循環賽在n-1天內結束。

     請按此要求將比賽日程表設計成有 n 行和 n-1 列的一個表。在表中的第 i 行，第 j 列處填入第 i 個選手在第 j 天所遇到的選手。其中 1 ≤ i ≤ n，1 ≤ j ≤ n-1。8 個選手的比賽日程表如下圖：

#include<iostream>
using namespace std;

int a[100][100];
int n;    //選手的個數

/*
tox:目標數組的行號 
toy:目標數組的列號 
fromx:源數組的行號 
fromy:源數組的列號 
r:數組的大小為 r*r 
*/
void Copy(int tox, int toy, int fromx, int fromy, int r)
{
    for(int i = 0; i < r; i++)
        for(int j = 0; j < r; j++)  
            a[tox+i][toy+j] = a[fromx+i][fromy+j];
}

void Table(int k)
{    
    n = 1 << k;    
    //構造正方形表格的第一行數據
    for(int i = 0; i < n; i++)
        a[0][i] = i + 1;
    //采用分治算法，構造整個循環賽日程表
    for(int r = 1; r < n; r <<= 1)
        for(int i = 0; i < n; i += 2*r)
        { 
            Copy(r, r + i, 0, i, r);        //左上角復制到右下角 
            Copy(r, i, 0, r + i, r);        //右上角復制到左下角 
        }
}


int main()
{
    int k;
    cout<<"請輸入k的值：";
    cin>>k; 
    
    Table(k);
    
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        for(int j = 0; j < n; j++)
        {
            cout<< a[i][j] << " ";
        }
        cout<<endl;
    } 
    return 0;
}