一些概念
分段光滑
討論在某個區間上的函數f(x),如果該區間可以被分成段，使得每段內的函數f(x)是連續的，且其導數df/dx也是連續的，那么稱為函數f(x)在此區間上分段光滑。
傅里葉收斂定理
在−L≤x≤L區間上函數f(x)和它的傅里葉級數（如下式）是不同的。這個無窮級數可能收斂也可能不收斂，即使收斂也可能不收斂於f(x)。
顯然，當傅里葉系數存在時，傅里葉級數才存在。因此，滿足|∫−LLf(x)dx|<∞的f(x)才能寫出傅里葉級數。
由於傅里葉級數存在時也不一定收斂於f(x)，寫出下面的記號：
符號∼讀作“（在給定區間上）有傅里葉級數”。當傅里葉級數收斂與f(x)時，上式可以使用=號
收斂定理
如果f(x)在區間−L≤x≤L上是分段光滑的，則f(x)的傅里葉級數收斂。且
- 在其周期延拓的連續點上，收斂於f(x)的周期延拓
- 在其周期延拓的跳躍間斷點上，收斂於周期延拓左右極限的極限平均值。
傅里葉正余弦級數
正弦級數
正弦函數為奇函數，因此只需要f(x)在0≤x≤L上的信息即可，然后對f(x)進行奇延拓，就可以寫出函數的正弦級數。
## 余弦級數
同樣，對於然后對f(x)進行偶延拓，就可以寫出函數的余弦級數。
至於要使用哪種級數則需要邊界條件來決定，有時使用傅里葉級數（既包含正弦又包含余弦）
奇部和偶部
任意函數都可以寫成奇部(fo(x))和偶部fe(x)的形式:
f(x)=fo(x)+fe(x)=12[f(x)−f(−x)]+12[f(x)+f(−x)]
因此，
f(x)的傅里葉級數等於奇部的正弦傅里葉級數加上偶部的余弦傅里葉級數。
傅里葉級數連續性
從傅里葉級數的收斂性很容易推出連續性的條件：沒有周期延拓間斷點。具體描述如下：
對於傅里葉級數：
對於分段光滑的f(x)，如果f(x)是連續的，且f(−L)=f(L)，則f(x)的傅里葉級數是連續的，且在−L≤x≤L上收斂於f(x)
顯然，對於定義在−L≤x≤L上f(x)的余弦級數，由於進行了偶拓展，滿足f(−L)=f(L)，則
對於余弦級數，連續性定理為：
對於分段光滑的f(x)，如果f(x)是連續的，則f(x)的傅里葉余弦級數是連續的，且在0≤x≤L上收斂於f(x)
對於正弦級數，進行了奇延拓，連續定理為：
對於分段光滑的f(x)，如果f(x)是連續的，且f(0)=f(L)=0，則f(x)的傅里葉正弦級數是連續的，且在0≤x≤L上收斂於f(x)
傅里葉級數的逐項微分
無窮級數，即使是收斂的無窮級數並不總是可以逐項微分。
可以證明以下定理：
**如果df/dx分段光滑，一個連續的傅里葉級數可以逐項微分
注意，這里包含了傅里葉級數連續的條件。
證明思路為：（所有逐項微分的定理都可以用這個思路證明）
由於df/dx分段光滑，可以寫出它的傅里葉級數。
寫出f(x)的傅里葉級數，求出兩者系數的關系即可。具體證明如下：
利用傅里葉級數逐項微分定理，可以寫出
余弦級數逐項微分定理：
如果df/dx分段光滑，連續函數f(x)的傅里葉余弦級數可以逐項微分
正弦級數逐項微分定理：
如果df/dx分段光滑，當f(0)=f(L)=0時，連續函數f(x)的傅里葉正弦級數可以逐項微分
特別的，使用上面的思路證明正弦級數逐項微分定理時可以得到，當f(0)=f(L)≠0時，也有如下公式：
這里只要求函數連續即可，因此，當函數連續，導數分段光滑時:
余弦級數逐項可微，
正弦級數不一定逐項可微，但是可以通過求導得到其導數的余弦級數
特征函數展開法
注意，這里的傅里葉級數依賴於參數t。
傅里葉級數的逐項積分
分段光滑的f(x)的傅里葉級數總是可以被逐項積分的，其結果是一個收斂的無窮級數，該級數在−L≤x≤L上收斂於f(x)的積分
但是要注意，逐項積分一個傅里葉級數不一定得到另一個傅里葉級數
總結
| 條件 | 傅里葉級數類型 | 結論 | 范圍 |
|---|---|---|---|
| f(x) 分段光滑 | 傅里葉級數 | 存在 | −L≤x≤L |
| f(x) 分段光滑，連續 | 余弦傅里葉級數 | 連續 | 0≤x≤L |
| f(x) 分段光滑，連續，f(0)=f(L)=0 | 正弦傅里葉級數 | 連續 | 0≤x≤L |
| dfdx 分段光滑，f(x) 分段光滑，連續 | 余弦傅里葉級數 | 逐項可微 | 0≤x≤L |
| dfdx 分段光滑，f(x) 分段光滑，連續，f(0)=f(L)=0 | 正弦傅里葉級數 | 逐項可微 | 0≤x≤L |
| u(x,t) 連續，∂u∂t 分段光滑 | 傅里葉級數 | 關於參數t 逐項可微 | −L≤x≤L |