余弦信號的傅里葉變換分析

1 加窗

對周期信號時域加窗會將無限長周期信號截斷為有限長，於是在頻域上原離散譜就會變為連續譜，由此降低分辨率（原單根譜線展開為窗函數譜的移位，因此分辨率主要受窗函數主瓣寬度影響）並產生泄漏（兩個相鄰譜線互相影響，因此泄漏主要受主瓣與旁瓣相對幅度的影響）。

矩形窗具有最窄的主瓣，但同時有最高的旁瓣。

2 譜采樣

加窗序列的DFT給出了加窗序列（記為v[n]）的傅里葉變換（記為V(e^jω)）的等間隔采樣。由於采樣點未必位於V(e^jω)的峰值點，所以DFT峰的幅度不一定等於V(e^jω)峰的幅度。

然而，如果矩形窗函數剛好截出了整數個信號周期，那么DFT的峰必定等於V(e^jω)的峰，DFT峰的頻率也必定等於V(e^jω)峰的頻率，且DFT在其他采樣點上剛好對應於V(e^jω)的零值點。對於單頻信號這似乎是一個很漂亮的結果。但如果信號本身就是有限長，這種現象實際上使得我們無法看到其他頻率處的值。通過對加窗后的信號補零，就可以使我們看到那些（當矩形窗剛好截出整數個周期時）原本看不到的頻率點上的幅值。

這里要注意的是，雖說在計算DFT前先給加窗后的信號補零（提高DFT長度）可以得到頻率等分更密集的傅里葉變換，但這不會提高頻率分辨率，頻率分辨率只取決於窗的長度和形狀。補零只是讓你看到原相鄰兩個頻點之間的那些頻率上的幅值（頻域過采樣），但原先分辨不出的頻率補零后照樣分辨不出。

更明確的說，窗函數的長度和形狀決定頻率分辨率，DFT長度決定相鄰譜線間隔。

當（矩形）窗的長度等於DFT長度時，相鄰譜線間隔就等於頻率分辨率。