使用一階微分對圖像銳化

Using First-Order Derivatives for (Nonlinear)Image Sharpening ----The Gradient

 

對於函數ƒ(x,y), ƒ在坐標(x,y)處的梯度定義為二維列向量

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)

它指出了在位置(x,y)處ƒ的最大變化率的方向。

向量▽ƒ的幅度值(長度)表示為M(x,y)，即

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)

它是梯度向量方向變化率在(x,y)的值。當x,y允許在ƒ中的所有像素位置變化時，M(x,y)是與原圖像大小相同的圖像。通常該圖像稱為梯度圖像(簡稱為梯度)。

在某些實現中，用絕對值來近似平方和平方根操作更合適計算

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　           

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)

該表達式仍保留了灰度的相對變化，但是失去了各向同性特征。

 

gx,gy近似表示為

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)

 

這兩個公式可以用以下兩個模板實現，(a)中的模板實現的3x3圖像區域的第三行和第一行的差近似x方向的微分，(b)模板中的第三列和第一列的差近似了y方向的微分。

-1	-2	-1
0	0	0
1	2	1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (a)

-1	0	1
-2	0	2
-1	0	1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (b)

 

附上我的MATLAB實現代碼

%%%%%%%梯度銳化圖像(sobel算子)%%%%%%%

Mask = 3;                                           %濾波器模板大小(3x3)

ImageDataTemp = imread('lena.jpg');                 %讀取工程目錄下的圖片
ImageDataGray = rgb2gray(ImageDataTemp);            %轉換為灰度圖像
ImageResult = size(ImageDataGray);                  %存儲處理后的圖像
clear ImageDataTemp;                                %清除過程變量
Temp = padarray(ImageDataGray, [(Mask-1)/2 (Mask-1)/2]);    %擴展圖像,防止算子模板覆蓋在圖像外
[j,k] = size(ImageDataGray);

SobelOperatorsX = [
                    -1 -2 -1    
                     0  0  0
                     1  2  1
                    ];
SobelOperatorsY = [
                    -1  0  1
                    -2  0  2
                    -1  0  1
                    ];
Part = zeros(3, 3, 'double');
for x = 2:j+1
    for y = 2:k+1
        Part = double(Temp(x - 1 : x + 1, y - 1 : y + 1));
        ImageResult(x - 1, y - 1) =  abs(sum(sum(times(Part,SobelOperatorsX)))) + abs(sum(sum(times(Part,SobelOperatorsY))));
    end
end
figure(1),imshow(ImageResult, []);
figure(2),imshow(ImageDataGray, []);

效果圖：