最大子序列和問題

一，問題描述

給定（可能有負數）整數a(1)、a(2)、……a(n)，求 a(1)+a(2)+……+a(j)的最大值。為方便起見，若所有的整數為負數，則最大子序列和為0.

也就是：在一系列整數中，找出連續的若干個整數，這若干個整數之和 最大。

 

二，求解思路

下面介紹兩種思路，一種的時間復雜度為O(N^3)，另一種為O(N)。這兩種方法分別類似於 在O(N)時間內求解 正數數組中 兩個數相加的 最大值   和 兩種方法求解 正數數組中 兩個數相減 的最大值

里面介紹的O(N^2)算法和 O(N)算法。都是采用了“貪心”的思想 忽略掉某些不需要判斷的元素，如本文中算法二：總是選擇，使當前序列之和變成負數的下一個元素作為新的起點。

因此，可以看出，最大子序列和問題 其實 與尋找“正整數數組中兩個數相減的最大值” 、“正整數數組中兩個數相加的最大值”等問題很相似。

算法一如下：

分別用兩個下標 i , j 標記某個子序列的起點和終點。然后，從 i 遍歷 到 j，求出[i,j]內所有元素的和，這個 和值 就是這一段子序列的和。

i belongs to [0, arr.length) , j belongs to [i, arr.length) 這樣，就代表了所有的子序列，再找出所有子序列和的最大值。

代碼如下：

    public static int maxSubSum1(int[] arr) {
        int maxSum = 0;

        for (int i = 0; i < arr.length; i++)
            for (int j = i; j < arr.length; j++) {
                int thisSum = 0;
                for (int k = i; k <= j; k++)
                    thisSum += arr[k];// 求解[i,j]這段子序列的和
                if (thisSum > maxSum)
                    maxSum = thisSum;
            }
        return maxSum;
    }

 

算法二如下：

算法二基於下面兩個事實：

①任何負的 子序列都不可能是最大子序列和 的前綴

②當加上 下標 j 所在的元素 使得 當前序列的和變成負數時，根據①，可以從 j+1 處重新開始計算下一段子序列的和。

因為某段子序列到索引 j 位置時，它們的和是負的，意味着最大子序列不會 包含這一段子序列，那么從 j+1 開始，能不能找到一段更大的子序列。

代碼如下：

    public static int maxSubSum2(int[] arr) {
        int maxSum = 0;
        int thisSum = 0;
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            thisSum += arr[i];
            if (thisSum > maxSum)// thisSum在[0,maxSum]之間時不需要任何處理
                maxSum = thisSum;
            else if (thisSum < 0)// 說明加上當前元素使得子序列為負數了,那么拋棄這段子序列(相當於thisSum賦值為0),從下一輪for開始
                thisSum = 0;
        }
        return maxSum;
    }

 

三，運行時間的比較

采用 這篇文章 中提到的隨機數生成算法 來隨機生成一個數組，然后比較上面兩個算法的運行時間。

機器環境如下：

OS:win7 64bit、RAM:6GB、CPU:Pentium(R)Dual-Core E5800@3.2GHz

時間比較如下：

數組大小        maxSubSum1運行時間(O(N))       maxSubSum2算法2運行時間(O(N^3))

100*10             0                                              95

200*10             0                                              647

300*10             0                                              2128

400*10             0                                              40246

 

這就是差距。。。。。。

 

完整程序代碼如下：

public class MaxSequence {

    public static int maxSubSum1(int[] arr) {
        int maxSum = 0;

        for (int i = 0; i < arr.length; i++)
            for (int j = i; j < arr.length; j++) {
                int thisSum = 0;
                for (int k = i; k <= j; k++)
                    thisSum += arr[k];// 求解[i,j]這段子序列的和
                if (thisSum > maxSum)
                    maxSum = thisSum;
            }
        return maxSum;
    }

    public static int maxSubSum2(int[] arr) {
        int maxSum = 0;
        int thisSum = 0;
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            thisSum += arr[i];
            if (thisSum > maxSum)// thisSum在[0,maxSum]之間時不需要任何處理
                maxSum = thisSum;
            else if (thisSum < 0)// 說明加上當前元素使得子序列為負數了,那么拋棄這段子序列(相當於thisSum賦值為0),從下一輪for開始
                thisSum = 0;
        }
        return maxSum;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = C2_2_8.randomArr(100*80);

        long start = System.currentTimeMillis();
        int r = maxSubSum2(arr);
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("maxValue=" + r + "  O(N)'s time:" + (end - start));

        long start2 = System.currentTimeMillis();
        int r2 = maxSubSum1(arr);
        long end2 = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("maxValue=" + r2 + "  O(N^3)'s time:"
                + (end2 - start2));

    }
}