最長子序列和問題【最大子段和問題】

來源：http://blog.csdn.net/luxiaoxun/article/details/7438315

問題： 
給定一整數序列A1， A2，... An （可能有負數），求A1~An的一個子序列Ai~Aj，使得Ai到Aj的和最大 
例如：整數序列-2, 11, -4, 13, -5, 2, -5, -3, 12, -9的最大子序列的和為21。對於這個問題，最簡單也是最容易想到的那就是窮舉所有子序列的方法。利用三重循環，依次求出所有子序列的和然后取最大的那個。當然算法復雜度會達到O(n^3)。

int maxSubSum1(int a[],int size ) 
{
    int maxSum = 0;
    for ( int i = 0; i < size; i++ )
        for ( int j = 1; j < size; j++ ) 
        {
             int thisSum = 0;
             for ( int k = i; k <= j; k++ )
                 thisSum += a[k];
             if ( thisSum > maxSum )
                maxSum = thisSum;
        }
    return maxSum;
}

這個算法很簡單，i表示子序列起始下標，j表示子序列結束下標，遍歷子序列的開頭和結束下標，計算子序列的和，然后判斷最大子序列。很明顯的看出算法復雜度是O( pow( n, 3 ) )

顯然這種方法不是最優的，下面給出一個算法復雜度為O(n)的線性算法實現，算法的來源於Programming Pearls一書。在給出線性算法之前，先來看一個對窮舉算法進行優化的算法，它的算法復雜度為O(n^2)。其實這個算法只是對對窮舉算法稍微做了一些修改：其實子序列的和我們並不需要每次都重新計算一遍。假設Sum(i, j)是A[i] ... A[j]的和，那么Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]。利用這一個遞推，我們就可以得到下面這個算法：

int max_sub(int a[],int size)
{
　　int i,j,v;
    int max=a[0];
　　for(i=0;i<size;i++)
　　{
　　　　v=0;//開始以下一個i開頭時要對上一個i開頭的累加和清零。
　　　　for(j=i;j<size;j++)
　　　　{
　　　　　　v=v+a[j];         //Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]
　　　　　　if(v>max)  max=v;
　　　　}
　　}
　　return max;
}

那怎樣才能達到線性復雜度呢？這里運用動態規划的思想。先看一下源代碼實現：

（PS：嗯這個動態規划的代碼還真沒看懂……）

int max_sub2(int a[], int size)
{
　　int i,max=0,temp_sum=0;
　　for(i=0;i<size;i++)
　　{
　　　　　　temp_sum+=a[i];
　　　　　　if(temp_sum>max)
　　　　　　　　max=temp_sum;
　　　　　　else if(temp_sum<0)
　　　　　　　　temp_sum=0;
　　}
　　return max;
}

在這一遍掃描數組當中，從左到右記錄當前子序列的和temp_sum，若這個和不斷增加，那么最大子序列的和max也不斷增加(不斷更新max)。如果往前掃描中遇到負數，那么當前子序列的和將會減小。此時temp_sum 將會小於max，當然max也就不更新。如果temp_sum降到0時，說明前面已經掃描的那一段就可以拋棄了，這時將temp_sum置為0。然后，temp_sum將從后面開始將這個子段進行分析，若有比當前max大的子段，繼續更新max。這樣一趟掃描結果也就出來了。 

 

 

 

分治法：最大子序列和可能出現在三個地方：整個出現在輸入數據的左半部分，整個出現在輸入數據的右半部分，或者跨越輸入數據的中部從而占據左右兩個半部分。   

（PS：原文的這段分治法的代碼看懂了個大概，后面附上另外兩段分治法的代碼吧。

另外，不管怎寫，分治法解決這個題目，時間復雜度都是O（nlogn）級別的。）

/**
 * Recursive maximum contiguous subsequence sum algorithm.
 * Finds maximum sum in subarray spanning a[left..right].
 * Does not attempt to maintain actual best sequence.
 */
int maxSumRec( const vector<int> & a, int left, int right )
{
    if( left == right )  // Base case
        if( a[ left ] > 0 )
            return a[ left ];
        else
            return 0;
    int center = ( left + right ) / 2;
    int maxLeftSum  = maxSumRec( a, left, center );
    int maxRightSum = maxSumRec( a, center + 1, right );
    int maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0;
    for( int i = center; i >= left; i-- )
    {
        leftBorderSum += a[ i ];
        if( leftBorderSum > maxLeftBorderSum )
            maxLeftBorderSum = leftBorderSum;
    }
    int maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0;
    for( int j = center + 1; j <= right; j++ )
    {
        rightBorderSum += a[ j ];
        if( rightBorderSum > maxRightBorderSum )
            maxRightBorderSum = rightBorderSum;
    }
    return max3( maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum );
}

/**
 * Driver for divide-and-conquer maximum contiguous
 * subsequence sum algorithm.
 */
int maxSubSum3( const vector<int> & a )
{
    return maxSumRec( a, 0, a.size( ) - 1 );
}

 

 

下面的代碼來自http://www.2cto.com/kf/201311/255297.html

#include <stdio.h>  
int Max2(int a, int b)  
{  
    return a>b ? a:b;  
}  
int Max3(int a, int b, int c)  
{  
    int max = a;  
    if(max < b)   max = b;  
    if(max < c)   max = c;  
    return max;  
}  
int MaxSubSum(int* a, int fI, int lI)  
{  
    int i = 0;  
    int mI = (fI+lI) >> 1;  
    int lMax = 0, rMax = 0, lMaxBorder = 0, rMaxBorder = 0, lSumBorder = 0, rSumBorder = 0, max = 0;  
    //so how about   
    if(fI == lI)  
        return *(a+fI);  
   
    lMax = MaxSubSum(a, fI, mI);  
    rMax = MaxSubSum(a, mI+1, lI);  
    for(i=mI;i>=fI;i--)  
    {  
        lSumBorder += *(a+i);  
        if(lMaxBorder < lSumBorder)  
            lMaxBorder = lSumBorder;  
    }  
    for(i=mI+1;i<=lI;i++)  
    {  
        rSumBorder += *(a+i);  
        if(rMaxBorder < rSumBorder)  
            rMaxBorder = rSumBorder;  
    }  
    max = Max3(lMax, rMax, lMaxBorder+rMaxBorder);  
    return max;  
}  
   
int main()  
{  
    int a[9] = {4,-3,5,-2,-1,2,6,-2,3};  
    int L = sizeof(a) / sizeof(int);  
    int max = MaxSubSum(a, 0, L-1);  
    printf("%d \n", max);  
    return 0;  
       
} 

 

下面是參考劉汝佳的《書法競賽入門經典》page141 的代碼：

int maxSum(int *A,int x,int y)//返回數組A在左閉右開區間[x,y)中的最大連續和
{
    int i,m,v,Lmax,Rmax,L,R;
    int ans;
    if(y-x==1) return A[x];   //假如只有一個元素，直接返回 
    m=x+(y-x)/2;              //分治第一步：划分成[x,m)和[m,y) 
    Lmax=maxSum(A,x,m);       //分治第二步：遞歸求解 
    Rmax=maxSum(A,m,y);
    
    v=0;     //分治第三步：合並（1）——尋找從分界點向左的最大連續和L 
    L=A[m-1];
    for(i=m-1;i>=x;i--)
    {
        v+=A[i];
        if(v>L) L=v;
    }
    
    v=0;    //分治第三步：合並（2）——尋找從分界點向右的最大連續和R
    R=A[m];
    for(i=m;i<y;i++)
    {
        v=v+A[i];
        if(v>R) R=V;
    }
    //把子問題的解與L+R 比較從而得到原問題的解。 
    ans=(Lmax>Rmax ? Lmax : Rmax);
    return ans>(L+R)? ans:(L=R);
}

劉大師的代碼就是簡潔又給力呵呵