動態規划之最大子段和問題

問題描述：
給定由n個整數（包含負整數）組成的序列a1,a2,...,an，求該序列子段和的最大值。

當所有整數均為負值時定義其最大子段和為0。
依此定義，所求的最優值為：
 
例如，當(a1,a2 , a3 , a4 , a5 ,a6)=(-2,11,-4,13,-5,-2)時，

最大子段和為：

11+（-4）+13 =20
1、最大子段和問題的簡單算法：

代碼：

#include<iostream> using namespace std; int MaxSum(int a[],int n,int &besti,int &bestj){ int sum=0; int i,j,k; for(i=1;i<=n;i++) for(j=i;j<=n;j++) { int thissum=0; for(k=i;k<=j;k++)thissum+=a[k]; if(thissum>sum){ sum=thissum; besti=i; bestj=j; } } return sum; } int main(){ int n,a[100],m,i,j,maxsum; cout<<"請輸入整數序列的元素個數n:"<<endl; cin>>n; cout<<"請輸入序列中各元素的值a[i](一共"<<n<<"個)"<<endl; //for(m=1;m<=n;i++) //cin>>a[m]; for(m=0;m<n;m++) cin>>a[m]; int b[100]; for(m=0;m<n;m++) b[m+1]=a[m]; maxsum=MaxSum(b,n,i,j); cout<<"整數序列的最大子段和是："<<maxsum<<endl; cout<<"besti="<<i<<endl; cout<<"bestj="<<j<<endl; system("pause"); }

此算法的時間復雜度：O(n3)。

可對此算法進行適當改進，使其時間復雜度變為：O(n2)。

代碼：

#include<iostream> using namespace std; int MaxSum(int a[],int n,int &besti,int &bestj){ int sum=0; int i,j,k; for(i=1;i<=n;i++){ int thissum=0; for(j=i;j<=n;j++) { thissum+=a[j]; if(thissum>sum){ sum=thissum; besti=i; bestj=j; } } } return sum; } int main(){ int n,a[100],m,i,j,maxsum; cout<<"請輸入整數序列的元素個數n:"<<endl; cin>>n; cout<<"請輸入序列中各元素的值a[i](一共"<<n<<"個)"<<endl; //for(m=1;m<=n;i++) //cin>>a[m]; for(m=0;m<n;m++) cin>>a[m]; int b[100]; for(m=0;m<n;m++) b[m+1]=a[m]; maxsum=MaxSum(b,n,i,j); cout<<"整數序列的最大子段和是："<<maxsum<<endl; cout<<"besti="<<i<<endl; cout<<"bestj="<<j<<endl; system("pause"); }

 

2、最大子段和問題的分治法：

代碼：

//最大子段和，分治算法。T(n)=O(nlog(n))。

#include<iostream> using namespace std; int MaxSubSum(int a[],int left,int right){ int sum=0; if(left==right)sum=a[left]>0?a[left]:0; else{ int center=(left+right)/2; int leftsum=MaxSubSum(a,left,center); int rightsum=MaxSubSum(a,center+1,right); int s1=0; int lefts=0; for(int i=center;i>=left;i--){ lefts+=a[i]; if(lefts>s1)s1=lefts; } int s2=0; int rights=0; for(int i=center+1;i<=right;i++){ rights+=a[i]; if(rights>s2)s2=rights; } sum=s1+s2; if(sum<leftsum)sum=leftsum; if(sum<rightsum)sum=rightsum; } return sum; } int main(){ int n,a[100],m,maxsum; cout<<"請輸入整數序列的元素個數n:"<<endl; cin>>n; cout<<"請輸入序列中各元素的值a[i](一共"<<n<<"個)"<<endl; for(m=0;m<n;m++) cin>>a[m]; int b[100]; for(m=0;m<n;m++) b[m+1]=a[m]; maxsum=MaxSubSum(b,1,n); cout<<"整數序列的最大子段和是："<<maxsum<<endl; system("pause"); }

 

3 最大子段和問題的動態規划算法：

代碼：

//最大子段和，動態規划，T(n)=O(n)。

#include<iostream> using namespace std; int MaxSum(int n,int a[]){ int sum=0; int b=0; for(int i=1;i<=n;i++){ if(b>0)b+=a[i]; else b=a[i]; if(b>sum)sum=b; } return sum; } int main(){ int n,a[100],m,maxsum; cout<<"請輸入整數序列的元素個數n:"<<endl; cin>>n; cout<<"請輸入序列中各元素的值a[i](一共"<<n<<"個)"<<endl; for(m=0;m<n;m++) cin>>a[m]; int b[100]; for(m=0;m<n;m++) b[m+1]=a[m]; maxsum=MaxSum(n,b); cout<<"整數序列的最大子段和是："<<maxsum<<endl; system("pause"); }