leetcode-最大子序和（動態規划講解）

最大子序和（動態規划講解）

給定一個整數數組 nums ，找到一個具有最大和的連續子數組（子數組最少包含一個元素），返回其最大和。

示例:

輸入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],

輸出: 6

解釋: 連續子數組 [4,-1,2,1] 的和最大，為 6。

進階:

如果你已經實現復雜度為 O(n) 的解法，嘗試使用更為精妙的分治法求解。

重點在動態規划。

1.采用的是s[j] -s[i]的方式，其中s[i] 和s[j]的查找的時間復雜度教大。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if(nums.length==1)return nums[0];
        int sum[]=new int [nums.length+1];
        sum[0]=0;int temp=0;
        for(int i=1;i<nums.length+1;i++){
            sum[i]=sum[i-1]+nums[i-1];
        }
        int len=nums.length;
        int max=Integer.MIN_VALUE;
       for(int i=0;i<len+1;i++){
           for(int j=i+1;j<len+1;j++){
               if(sum[j]-sum[i]>max)max=sum[j]-sum[i];
           }
       }
        return max;
    }
}

2.動態規划解法

• 令狀態dp[i]表示以A[i]作為末尾的連續序列的最大和。比如[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 一個序列，下標分別是0，1，2，3，4，5，6，7，8

dp[0]=-2

dp[1]=-1;

dp[2]=-4;

dp[3]=0;

dp[4]=-1

通過設置一個dp數組，要求的最大和其實就是dp[0],dp[1]...dp[n-1]中的最大值，下面想辦法求解dp數組。

• 作如下考慮：因為dp[i]要求是必須以A[i]結尾的連續序列，那么只有兩種情況：

1.這個最大和的連續序列只有一個元素，以A[i]開始，A[i]結尾

2.這個最大和的連續序列多個元素，從前面A[p]開始（p<i),一直到A[i]結束。

對於第一種情況，最大和就是A[i]本身。 第二張，最大和是 dp[i-1]+A[i]。

於是得到方程： dp[i]=max(dp[i-1]+A[i],A[i])。 邊界dp[0]=0.

於是從小到大輸出dp數組，找到他的最大值，即為最大子序列和。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int dp[]=new int[nums.length+1];
        dp[0]=nums[0];
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            dp[i]=Math.max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);    
        }
        int k=0;
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            if(dp[i]>dp[k])k=i;
        }
        return dp[k];
    }
}