HDU 1003 Max Sum【動態規划求最大子序列和詳解 】

Max Sum

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 250714    Accepted Submission(s): 59365

Problem Description

Given a sequence a[1],a[2],a[3]......a[n], your job is to calculate the max sum of a sub-sequence. For example, given (6,-1,5,4,-7), the max sum in this sequence is 6 + (-1) + 5 + 4 = 14.

 

 

Input

The first line of the input contains an integer T(1<=T<=20) which means the number of test cases. Then T lines follow, each line starts with a number N(1<=N<=100000), then N integers followed(all the integers are between -1000 and 1000).

 

 

Output

For each test case, you should output two lines. The first line is "Case #:", # means the number of the test case. The second line contains three integers, the Max Sum in the sequence, the start position of the sub-sequence, the end position of the sub-sequence. If there are more than one result, output the first one. Output a blank line between two cases.

 

 

Sample Input

2
5 6 -1 5 4 -7
7 0 6 -1 1 -6 7 -5

 

Sample Output

Case 1:
14 1 4

Case 2:
7 1 6

 

Author

Ignatius.L

題目鏈接： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1003

初來乍到，動態規划也是剛剛接觸。剛開始用暴力法，Time limit……

在網上搜了代碼。大多是只說是動態規划經典問題、求最大子序列和，然后就是一串代碼。最好的就是帶了幾行注釋…沒有太多通俗的解釋…硬着頭皮看了一晚上，終於算是有了眉目想通了。

在這里寫下自己對這個動態規划求最大子序列和的理解，通俗一點的解釋。（只是個人的理解哦，僅供參考）

這里的求最大子序列和應該是變種了吧，呵呵，還要加上最大子序列的起始和終止位置……只要知道怎么求最大子序列和，那么附加個位置應該不難的。

 

 

先來看代碼：

    #include <iostream>  
    using namespace std;  
    int main()  
    {  
        int j,i,k,n,m,t;  
        int a[100002];  
        scanf("%d",&t);  
        for (j=1;j<=t;j++)  
        {  
            scanf("%d",&n);  
            for (i=0;i<n;i++)  
            {  
                scanf("%d",&a[i]);  
            }  
            int sum=0,maxsum=-1001,first =0, last = 0, temp = 1;  
            for (i=0;i<n;i++)  
            {  
                sum += a[i];  
                if (sum > maxsum)  
                {  
                    maxsum = sum;first = temp;last = i+1;  
                }  
                if (sum < 0)  
                {  
                    sum = 0;temp = i+2;  
                }  
            }  
      
            printf("Case %d:\n%d %d %d\n",j,maxsum,first,last);  
            if (j!=t)  
            {  
                printf("\n");  
            }  
        }  
          
        return 0;  
    }  

本想用通俗的話語來解釋這個道理，結果發現，通俗了以后就非文字所能描述的好的了，需要各種的手勢+紙筆畫一陣子，無奈表達能力有限，只好……只好用這樣的看似非常嚴密的數學推理來說明了（囧)

 

對於整個序列a[n]來說，它的所有子序列有很多很多，但是可以將它們歸類。

注意，是以**結尾的子序列，其中肯定是要包含**的了

 

以a[0]結尾的子序列只有a[0]

以a[1]結尾的子序列有 a[0]a[1]和a[1]

以a[2]結尾的子序列有 a[0]a[1]a[2] / a[1]a[2] / a[2]

……

以a[i]結尾的子序列有a[0]a[1]……a[i-2]a[i-1]a[i]  / a[1]a[2]……a[i-2]a[i-1]a[i] /  a[2]a[3]……a[i-2]a[i-1]a[i] / …… /  a[i-1]a[i] / a[i]

 

所有以a[0] ~a[n]結尾的子序列分組構成了整個序列的所有子序列。

 

這樣，我們只需求以a[0]~a[n]結尾的這些分組的子序列中的每一分組的最大子序列和。然后從n個分組最大子序列和中選出整個序列的最大子序列和。

 

觀察可以發現，0，1，2，……，n結尾的分組中，

maxsum a[0] = a[0]

maxsum a[1] = max( a[0] + a[1] ，a[1])  =  max( maxsum a[0] + a[1] ，a[1]) 

maxsum a[2] = max( max ( a[0] + a[1] + a[2]，a[1] + a[2] )，a[2])  

= max(  max( a[0] + a[1] ，a[1]) + a[2] ， a[2]) 

= max(  maxsum a[1] + a[2] ， a[2])

……

依此類推，可以得出通用的式子。

maxsum a[i] = max（ maxsum a[i-1] + a[i]，a[i])

 

 

用遞歸……當然，不遞歸也應該是可以解決的。

 

我們從maxsum  a[0]開始算起。

以后的每個就是  maxsum a[i-1] + a[i] 和 a[i] 中取大的那個。

 

程序中判斷 前一個的最大子序列和小於零時，將其置為0，然后再加a[i] ，這樣不就是和a[i] 一樣大的么；前一個的最大子序列和只要大於零，那么再加上a[i] 肯定比 a[i] 要大，這樣，帶有歸零的這個 maxsum a[i-1] + a[i] 就是以表示當前位置結束的子序列的最大和了。

 

 

剩下的就是要判斷起始和終點位置了。

 

在循環的過程中，每循環一次就算出一個以當前位置結束的最大子序列和。每次循環中最大的那個保存下來，不就是最終所有最大子序列和中的最大值了么。

 

其中temp保存的是前一個位置的最大子序列和的開始位置（題目中是從1開始的哦）；當 sum > maxsum 時（ 程序中的條件，與說明時的maxsum不太一樣哦 ）就記錄最大值，並保持它的開始位置為temp，終止位置即為當前位置（i +1是因為題目中第一個為1，而不是0）；

 

當最大子序列和小於0時，將 temp = i + 2； 其中 i + 1 表示當前位置（理由如上），i + 2就表示當前位置的下一個位置了。既此最大子序列和為負值，那么下一個的最大子序列和應該是它本身，而不再累加前邊的。

 

程序中就兩個if 語句，想要說明白還真不容易。

 

還有，有人會問，當整個序列全是負數時，還對嗎？負數也是成立的，如果全是負數的時候，它就是每次都只取當前值作為最大值了，因為負的跟負的不就越加越小了嗎。

 

因為題目中給出的范圍是-1000 ～1000，所以 這里初始的maxsum 初始化為-1001 ，只有比所有可能的值都小時才行。maxsum初始化為0；那么當序列全是負數時，得出的最大值將是0……這就wrong了

 

 總之，只要上一個子序列最大和為正，那么無論當前值的正負，都會與當前的相加，這樣以當前值結尾的子序列最大和就會增大。（一個正數 加一個 正數2 或者負數 那么都會比這個正數2 或負數原來要增大，同理，一個負數加任何一個數，都會使這個數減小，因此當前一子序列最大和小於零時，我們就歸零它了，相當於是不加任何數，而保留當前位置值本身）

 

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內存優化版：

理解了以上思想后，觀察上一個代碼我們發現，那個a[10000]基本上就沒用啊，保存了一些輸入數據，可是那些數據只用了一次就沒用了。輸入數據的for循環和處理數據的for循環是一模一樣的，而且處理數據也只是用到當前輸入的數據。

於是，數組也可以省去了，直接將兩個循環合並。輸入一個數據，直接累加……省下不少空間哦。

    #include <iostream>  
    using namespace std;  
    int main()  
    {  
        int j,i,k,n,m,t;  
        int a;  //不需要數組，只需要一個輸入變量
        scanf("%d",&t);  
        for (j=1;j<=t;j++)  
        {  
            scanf("%d",&n);  
            int sum=0,maxsum=-1001,first =0, last = 0, temp = 1;  
            for (i=0;i<n;i++)  
            {  
                scanf("%d",&a); 
                sum += a;  
                if (sum > maxsum)  
                {  
                    maxsum = sum;first = temp;last = i+1;  
                }  
                if (sum < 0)  
                {  
                    sum = 0;temp = i+2;  
                }  
            }  
      //注意格式，我就因為將冒號寫到了數的前邊而wrong answer，郁悶半天才發現……
            printf("Case %d:\n%d %d %d\n",j,maxsum,first,last);  
            if (j!=t)  
            {  
                printf("\n");  
            }  
        }  
          
        return 0;  
    }