動態規划：最大子矩陣

　　在DP問題中有一種叫最大子矩陣問題，剛好碰到了這一題，於是學習分享之。

　　讓我們先來看一下題目：ZOJ Problem Set - 1074

　　http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=1074

　　題目分類：動態規划

　　題目大意：就是輸入一個N*N的矩陣，找出在矩陣中，所有元素加起來之和最大的子矩陣。

　　例如在    0 -2 -7 0　這樣一個4*4的矩陣中，元素之和最大的子矩陣為   9 2　 ，它們之和為15。　

　　　　　　 9  2 -6 2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-4 1
　　　　　　-4 1 -4 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -1 8
　　　　　　-1 8 0 -2

 

　　這是一個最大子矩陣問題，我們怎么來解決這個問題呢？任何問題都會有它的簡化的問題，這是二維的數組，與之對應的，我們可以先嘗試一下一維數組。

　　如果有一個一維數組a[n]，如何找出連續的一段，使其元素之和最大呢？

　　例如有 1 2 -3 4 -2 5 -3 -1 7 4 -6 這樣一個數組，那么顯然 4 -2 5 -3 -1 7 4 這個子數組元素之和最大，為4+(-2)+5+(-3)+(-3)+7+4=14。為找到一維數組的最大子數組，我們可以有以下方法。

　　1、窮舉法

 

for(i=0;i<n;i++)
{
    for(j=0;j<=i;j++)
    {
        sum = 0;
        for(k=j;k<=i;k++)
            sum += a[k];
        if(sum > max)    max = sum;
    }
}

 

　　窮舉法在n很大的情況下，需要運行的次數非常的多，有三層循環，所以n很大時不能使用這種方法。

　　2、帶記憶的遞推法

record[0] = 0;
for(i=1;i<=n;i++)                    //用下標1~n來儲存n個數
    record[i] = record[i-1] + a[i];  //用record記錄a[i]前i個的和
max = 0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
    for(j=0;j<i;j++)
    {
        sum = record[i] - record[j];
        if(sum > max)    max = sum;
    }
}

　　這種方法的時間復雜度明顯比上一種的低了很多，時間復雜度為O(n²)。這種方法其實我們再繼續優化一下，就變成了我們所需要的動態規划。

　　3、動態規划

　　我們來分析一下最優子結構，若想找到n個數的最大子段和，那么要找到n-1個數的最大子段和，這就出來了。我們用b[i]來表示a[0]...a[i]的最大子段和，b[i]無非有兩種情況
：(1)最大子段一直連續到a[i] 　(2)以a[i]為首的新的子段　。由此我們可以得到b[i]的狀態轉移方程：b[i]=max{b[i-1]+a[i],a[i]}。最終我們得到的最大子段和為max{b[i], 0<=i<n}， 算法如下：

 

int MaxSubArray(int a[],int n)
{
    int i,b = 0,sum = 0;
    for(i = 0;i < n;i++)
    {
        if(b>0)                // 若a[i]+b[i-1]會減小
            b += a[i];        // 則以a[i]為首另起一個子段
        else    
            b = a[i];
        if(b > sum)    
            sum = b;
    }
    return sum;
}

 

　　說了這么多，這跟最大子矩陣有什么關系呢？當然有關系學啦！二維就是一維的擴展，把二維壓扁不就變成一維了嗎？

　　我們假設所求N*N的矩陣的最大子矩陣是從i列到j列，q行到p行，如下圖所示（假設下標從1開始）

　　a[1][1]　　a[1][2]　　······　　a[1][i]　　······　　a[1][j] 　　······　　a[1][n]

　　a[2][1]　　a[2][2]　　······　　a[2][i]　　······　　a[2][j]　　 ······　　a[2][n]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　······

　　a[q][1]　　a[q][2]　　······　　a[q][i]　　······　　a[q][j]　　······　　a[q][n]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　······

　　a[p][1]　　a[p][2]　　······　　a[p][i]　　······　　a[p][j]　　······　　a[p][n]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　······

　　a[n][1]　　a[n][2]　　······　　a[n][i]　　······　　a[n][j]　　······　　a[n][n]

　　最大子矩陣就是圖示紅色部分，如果把最大子矩陣同列的加起來，我們可以得到一個一維數組{a[q][i]+······+a[p][i] , ······ ，a[q][j]+······+a[p][j]} ，現在我們可以看出，這其實就是一個一維數組的最大子段問題。如果把二維數組看成是縱向的一維數組和橫向的一維數組，那問題不就迎刃而解了嗎？把二維轉換成了我們剛剛解決了的問題。

　　最終我們得到了ZOJ Problem Set - 1074的解法，代碼如下：http://paste.ubuntu.com/15272521/

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

int maxsub(int a[],int n)    
{
    int i,max=0,b=0;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        if(b > 0)
            b += a[i];
        else 
            b = a[i];
        if(b > max)
            max = b;
    }
    return max;
}

int main()
{
    int n,i,j,k,maxsubrec,maxsubarr;
    int dp[101][101],arr[101];
    while(cin>>n)
    {
         for(i=0;i<n;i++)
             for(j=0;j<n;j++)
                 cin>>dp[i][j];
         maxsubrec = 0;
         for(i=0;i<n;i++)
         {
             memset(arr,0,sizeof(arr));
             for(j=i;j<n;j++)
             {
                 for(k=0;k<n;k++)
                     arr[k] += dp[j][k];
                 maxsubarr = maxsub(arr,n);
                 if(maxsubarr > maxsubrec) maxsubrec = maxsubarr;
             }
         }
         cout<<maxsubrec<<endl;
    }
}