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【動態規划】最大子段和問題，最大子矩陣和問題，最大m子段和問題

本文轉載自   查看原文   2017-03-05 11:04   12434    算法/數據結構

原文：http://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8632430

     1、最大子段和問題

     問題定義：對於給定序列a1,a2,a3……an,尋找它的某個連續子段，使得其和最大。如( -2,11,-4,13,-5,-2 )最大子段是{ 11,-4,13 }其和為20。

     (1)枚舉法求解

     枚舉法思路如下：

     以a[0]開始: {a[0]}, {a[0],a[1]},{a[0],a[1],a[2]}……{a[0],a[1],……a[n]}共n個

     以a[1]開始: {a[1]}, {a[1],a[2]},{a[1],a[2],a[3]}……{a[1],a[2],……a[n]}共n-1個

     ……

     以a[n]開始:{a[n]}共1個

     一共(n+1)*n/2個連續子段，使用枚舉，那么應該可以得到以下算法：
     具體代碼如下：

[cpp]  view plain copy
  1. //3d4-1 最大子段和問題的簡單算法  
  2. #include "stdafx.h"  
  3. #include <iostream>   
  4. using namespace std;   
  5.   
  6. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj);  
  7.   
  8. int main()  
  9. {  
  10.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};  
  11.   
  12.     for(int i=0; i<6; i++)  
  13.     {  
  14.         cout<<a[i]<<" ";  
  15.     }  
  16.   
  17.     int besti,bestj;  
  18.   
  19.     cout<<endl;  
  20.     cout<<"數組a的最大連續子段和為：a["<<besti<<":"<<bestj<<"]:"<<MaxSum(6,a,besti,bestj)<<endl;  
  21.   
  22.     return 0;  
  23. }  
  24.   
  25. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj)  
  26. {     
  27.     int sum = 0;  
  28.     for(int i=0; i<n; i++)//控制求和起始項  
  29.     {  
  30.         for(int j=i; j<n; j++)//控制求和結束項  
  31.         {  
  32.             int thissum = 0;  
  33.             for(int k=i; k<=j; k++)//求和  
  34.             {  
  35.                 thissum += a[k];  
  36.             }  
  37.   
  38.             if(thissum>sum)//求最大子段和  
  39.             {  
  40.                 sum = thissum;  
  41.                 besti = i;  
  42.                 bestj = j;  
  43.             }  
  44.         }  
  45.     }  
  46.     return sum;  
  47. }  

            從這個算法的三個for循環可以看出，它所需要的計算時間是O(n^3)。事實上，如果注意到，則可將算法中的最后一個for循環省去，避免重復計算，從而使算法得以改進。改進后的代碼如下：

[cpp]  view plain copy
  1. //3d4-2 最大子段和問題的避免重復的簡單算法  
  2. #include "stdafx.h"  
  3. #include <iostream>   
  4. using namespace std;   
  5.   
  6. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj);  
  7.   
  8. int main()  
  9. {  
  10.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};  
  11.   
  12.     for(int i=0; i<6; i++)  
  13.     {  
  14.         cout<<a[i]<<" ";  
  15.     }  
  16.   
  17.     int besti,bestj;  
  18.   
  19.     cout<<endl;  
  20.     cout<<"數組a的最大連續子段和為：a["<<besti<<":"<<bestj<<"]:"<<MaxSum(6,a,besti,bestj)<<endl;  
  21.   
  22.     return 0;  
  23. }  
  24.   
  25. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj)  
  26. {     
  27.     int sum = 0;  
  28.     for(int i=0; i<n; i++)//控制求和起始項  
  29.     {  
  30.         int thissum = 0;  
  31.         for(int j=i; j<=n; j++)//控制求和結束項  
  32.         {  
  33.             thissum += a[j];//求和  
  34.             if(thissum>sum)  
  35.             {  
  36.                 sum = thissum;  
  37.                 besti = i;  
  38.                 bestj = j;  
  39.             }  
  40.               
  41.         }  
  42.     }  
  43.     return sum;  
  44. }  

     (2)分治法求解

       分治法思路如下：

    將序列a[1:n]分成長度相等的兩段a[1:n/2]和a[n/2+1:n],分別求出這兩段的最大字段和，則a[1:n]的最大子段和有三中情形：

    [1]、a[1:n]的最大子段和與a[1:n/2]的最大子段和相同； 

    [2]、a[1:n]的最大子段和與a[n/2+1:n]的最大子段和相同；

    [3]、a[1:n]的最大字段和為，且1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n。

    可用遞歸方法求得情形[1],[2]。對於情形[3],可以看出a[n/2]與a[n/2+1]在最優子序列中。因此可以在a[1:n/2]中計算出，並在a[n/2+1:n]中計算出。則s1+s2即為出現情形[3]時的最優值。

     具體代碼如下：

[cpp]  view plain copy
  1. //3d4-1 最大子段和問題的分治算法  
  2. #include "stdafx.h"  
  3. #include <iostream>   
  4. using namespace std;   
  5.   
  6. int MaxSubSum(int *a,int left,int right);  
  7. int MaxSum(int n,int *a);  
  8.   
  9. int main()  
  10. {  
  11.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};  
  12.   
  13.     for(int i=0; i<6; i++)  
  14.     {  
  15.         cout<<a[i]<<" ";  
  16.     }  
  17.   
  18.     cout<<endl;  
  19.     cout<<"數組a的最大連續子段和為:"<<MaxSum(6,a)<<endl;  
  20.   
  21.     return 0;  
  22. }  
  23.   
  24. int MaxSubSum(int *a,int left,int right)  
  25. {     
  26.     int sum = 0;  
  27.     if(left == right)  
  28.     {  
  29.         sum = a[left]>0?a[left]:0;  
  30.     }  
  31.     else  
  32.     {  
  33.         int center = (left+right)/2;  
  34.         int leftsum = MaxSubSum(a,left,center);  
  35.         int rightsum = MaxSubSum(a,center+1,right);  
  36.   
  37.         int s1 = 0;  
  38.         int lefts = 0;  
  39.         for(int i=center; i>=left;i--)  
  40.         {  
  41.             lefts += a[i];  
  42.             if(lefts>s1)  
  43.             {  
  44.                 s1=lefts;  
  45.             }  
  46.         }  
  47.   
  48.         int s2 = 0;  
  49.         int rights = 0;  
  50.         for(int i=center+1; i<=right;i++)  
  51.         {  
  52.             rights += a[i];  
  53.             if(rights>s2)  
  54.             {  
  55.                 s2=rights;  
  56.             }  
  57.         }  
  58.         sum = s1+s2;  
  59.         if(sum<leftsum)  
  60.         {  
  61.             sum = leftsum;  
  62.         }  
  63.         if(sum<rightsum)  
  64.         {  
  65.             sum = rightsum;  
  66.         }  
  67.   
  68.     }  
  69.     return sum;  
  70. }  
  71.   
  72. int MaxSum(int n,int *a)  
  73. {  
  74.     return MaxSubSum(a,0,n-1);  
  75. }  

     算法所需的計算時間T(n)滿足一下遞歸式：

      

     解此遞歸方程可知：T(n)=O(nlogn)。

     (3)動態規划算法求解

    算法思路如下：

    記，則所求的最大子段和為：

    由b[j]的定義知，當b[j-1]>0時，b[j]=b[j-1]+a[j]，否則b[j]=a[j]。由此可得b[j]的動態規划遞推式如下：

     b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},1<=j<=n。

     具體代碼如下：

[cpp]  view plain copy
  1. //3d4-1 最大子段和問題的動態規划算法  
  2. #include "stdafx.h"  
  3. #include <iostream>   
  4. using namespace std;   
  5.   
  6. int MaxSum(int n,int *a);  
  7.   
  8. int main()  
  9. {  
  10.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};  
  11.   
  12.     for(int i=0; i<6; i++)  
  13.     {  
  14.         cout<<a[i]<<" ";  
  15.     }  
  16.   
  17.     cout<<endl;  
  18.     cout<<"數組a的最大連續子段和為:"<<MaxSum(6,a)<<endl;  
  19.   
  20.     return 0;  
  21. }  
  22.   
  23. int MaxSum(int n,int *a)  
  24. {  
  25.     int sum=0,b=0;  
  26.     for(int i=1; i<=n; i++)  
  27.     {  
  28.         if(b>0)  
  29.         {  
  30.             b+=a[i];  
  31.         }  
  32.         else  
  33.         {  
  34.             b=a[i];  
  35.         }  
  36.         if(b>sum)  
  37.         {  
  38.             sum = b;  
  39.         }  
  40.     }  
  41.     return sum;  
  42. }  

     上述算法的時間復雜度和空間復雜度均為O(n)。

     2、最大子矩陣和問題
        (1)問題描述：給定一個m行n列的整數矩陣A，試求A的一個子矩陣，使其各元素之和為最大。

     (2)問題分析：

      用二維數組a[1:m][1:n]表示給定的m行n列的整數矩陣。子數組a[i1:i2][j1:j2]表示左上角和右下角行列坐標分別為(i1,j1)和(i2,j2)的子矩陣，其各元素之和記為：

      最大子矩陣問題的最優值為。如果用直接枚舉的方法解最大子矩陣和問題，需要O(m^2n^2)時間。注意到，式中，設，則

 

容易看出，這正是一維情形的最大子段和問題。因此，借助最大子段和問題的動態規划算法MaxSum，可設計出最大子矩陣和動態規划算法如下:

 

[cpp]  view plain copy
  1. //3d4-5 最大子矩陣之和問題  
  2. #include "stdafx.h"  
  3. #include <iostream>   
  4. using namespace std;   
  5.   
  6. const int M=4;  
  7. const int N=3;  
  8.   
  9. int MaxSum(int n,int *a);  
  10. int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N]);  
  11.   
  12. int main()  
  13. {  
  14.     int a[][N] = {{4,-2,9},{-1,3,8},{-6,7,6},{0,9,-5}};  
  15.   
  16.     for(int i=0; i<M; i++)  
  17.     {  
  18.         for(int j=0; j<N; j++)  
  19.         {  
  20.             cout<<a[i][j]<<" ";  
  21.         }  
  22.         cout<<endl;  
  23.     }  
  24.   
  25.     cout<<endl;  
  26.     cout<<"數組a的最大連續子段和為:"<<MaxSum2(M,N,a)<<endl;  
  27.   
  28.     return 0;  
  29. }  
  30.   
  31. int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N])  
  32. {  
  33.     int sum = 0;  
  34.     int *b = new int[n+1];  
  35.     for(int i=0; i<m; i++)//枚舉行  
  36.     {  
  37.         for(int k=0; k<n;k++)  
  38.         {  
  39.             b[k]=0;  
  40.         }  
  41.   
  42.         for(int j=i;j<m;j++)//枚舉初始行i,結束行j  
  43.         {  
  44.             for(int k=0; k<n; k++)  
  45.             {  
  46.                 b[k] += a[j][k];//b[k]為縱向列之和  
  47.                 int max = MaxSum(n,b);  
  48.                 if(max>sum)  
  49.                 {  
  50.                     sum = max;  
  51.                 }  
  52.             }  
  53.         }  
  54.     }  
  55.     return sum;  
  56. }  
  57.   
  58. int MaxSum(int n,int *a)  
  59. {  
  60.     int sum=0,b=0;  
  61.     for(int i=1; i<=n; i++)  
  62.     {  
  63.         if(b>0)  
  64.         {  
  65.             b+=a[i];  
  66.         }  
  67.         else  
  68.         {  
  69.             b=a[i];  
  70.         }  
  71.         if(b>sum)  
  72.         {  
  73.             sum = b;  
  74.         }  
  75.     }  
  76.     return sum;  
  77. }  

     以上代碼MaxSum2方法的執行過程可用下圖表示：

 


     3、最大m子段和問題

     (1)問題描述：給定由n個整數(可能為負數)組成的序列a1,a2,a3……an,以及一個正整數m,要求確定此序列的m個不相交子段的總和達到最大。最大子段和問題是最大m字段和問題當m=1時的特殊情形。

     (2)問題分析：設b(i,j)表示數組a的前j項中i個子段和的最大值，且第i個子段含a[j](1<=i<=m,i<=j<=n),則所求的最優值顯然為。與最大子段問題相似，計算b(i,j)的遞歸式為：

     其中，表示第i個子段含a[j-1],而項表示第i個子段僅含a[j]。初始時，b(0,j)=0,(1<=j<=n);b(i,0)=0,(1<=i<=m)。

     具體代碼如下：

[cpp]  view plain copy
  1. //3d4-6 最大m子段問題  
  2. #include "stdafx.h"  
  3. #include <iostream>   
  4. using namespace std;   
  5.   
  6. int MaxSum(int m,int n,int *a);  
  7.   
  8. int main()  
  9. {  
  10.     int a[] = {0,2,3,-7,6,4,-5};//數組腳標從1開始  
  11.     for(int i=1; i<=6; i++)  
  12.     {  
  13.         cout<<a[i]<<" ";  
  14.     }  
  15.   
  16.     cout<<endl;  
  17.     cout<<"數組a的最大連續子段和為:"<<MaxSum(3,6,a)<<endl;  
  18.     }  
  19.   
  20. int MaxSum(int m,int n,int *a)  
  21. {  
  22.     if(n<m || m<1)  
  23.         return 0;  
  24.     int **b = new int *[m+1];  
  25.   
  26.     for(int i=0; i<=m; i++)  
  27.     {  
  28.         b[i] = new int[n+1];  
  29.     }  
  30.   
  31.     for(int i=0; i<=m; i++)  
  32.     {  
  33.         b[i][0] = 0;  
  34.     }  
  35.   
  36.     for(int j=1;j<=n; j++)  
  37.     {  
  38.         b[0][j] = 0;  
  39.     }  
  40.   
  41.     //枚舉子段數目，從1開始，迭代到m，遞推出b[i][j]的值  
  42.     for(int i=1; i<=m; i++)  
  43.     {  
  44.         //n-m+i限制避免多余運算，當i=m時，j最大為n，可據此遞推所有情形  
  45.         for(int j=i; j<=n-m+i; j++)  
  46.         {  
  47.             if(j>i)  
  48.             {  
  49.                 b[i][j] = b[i][j-1] + a[j];//代表a[j]同a[j-1]一起，都在最后一子段中  
  50.                 for(int k=i-1; k<j; k++)  
  51.                 {  
  52.                     if(b[i][j]<b[i-1][k]+a[j])  
  53.                         b[i][j] = b[i-1][k]+a[j];//代表最后一子段僅包含a[j]  
  54.                 }  
  55.             }  
  56.             else  
  57.             {  
  58.                 b[i][j] = b[i-1][j-1]+a[j];//當i=j時，每一項為一子段  
  59.             }  
  60.         }  
  61.     }  
  62.     int sum = 0;  
  63.     for(int j=m; j<=n; j++)  
  64.     {  
  65.         if(sum<b[m][j])  
  66.         {  
  67.             sum = b[m][j];  
  68.         }  
  69.     }  
  70.     return sum;  
  71. }  

     上述算法的時間復雜度為O(mn^2)，空間復雜度為O(mn)。其實，上述算法中，計算b[i][j]時，只用到了數組b的第i-1行和第i行的值。因而，算法中只要存儲數組b的當前行，不必存儲整個數組。另一方面，的值可以在計算i-1行時預先計算並保存起來。計算第i行的值時不必重新計算，節省了計算時間和空間。因此，算法可繼續改進如下：

[cpp]  view plain copy
  1. //3d4-7 最大m子段問題  
  2. #include "stdafx.h"  
  3. #include <iostream>   
  4. using namespace std;   
  5.   
  6. int MaxSum(int m,int n,int *a);  
  7.   
  8. int main()  
  9. {  
  10.     int a[] = {0,2,3,-7,6,4,-5};//數組腳標從1開始  
  11.     for(int i=1; i<=6; i++)  
  12.     {  
  13.         cout<<a[i]<<" ";  
  14.     }  
  15.   
  16.     cout<<endl;  
  17.     cout<<"數組a的最大連續子段和為:"<<MaxSum(3,6,a)<<endl;  
  18.     }  
  19.   
  20. int MaxSum(int m,int n,int *a)  
  21. {  
  22.     if(n<m || m<1)  
  23.         return 0;  
  24.     int *b = new int[n+1];  
  25.     int *c = new int[n+1];  
  26.   
  27.     b[0] = 0;//b數組記錄第i行的最大i子段和  
  28.     c[1] = 0;//c數組記錄第i-1行的最大i-1子段和  
  29.   
  30.     for(int i=1; i<=m; i++)  
  31.     {  
  32.         b[i] = b[i-1] + a[i];  
  33.         c[i-1] = b[i];  
  34.         int max = b[i];  
  35.   
  36.         //n-m+i限制避免多余運算，當i=m時，j最大為n，可據此遞推所有情形  
  37.         for(int j=i+1; j<=i+n-m;j++)  
  38.         {  
  39.             b[j] = b[j-1]>c[j-1]?b[j-1]+a[j]:c[j-1]+a[j];  
  40.             c[j-1] = max;//預先保存第j-1行的最大j-1子段和  
  41.   
  42.             if(max<b[j])  
  43.             {  
  44.                 max = b[j];  
  45.             }  
  46.         }  
  47.         c[i+n-m] = max;  
  48.     }  
  49.   
  50.     int sum = 0;  
  51.     for(int j=m; j<=n; j++)  
  52.     {  
  53.         if(sum<b[j])  
  54.         {  
  55.             sum = b[j];  
  56.         }  
  57.     }  
  58.     return sum;  
  59. }  

     上述算法時間復雜度為O(m(n-m))，空間復雜度為O(n)。當m或n-m為常數時，時間復雜度和空間復雜度均為O(n)。


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