動態規划之最大子段和問題

問題描述：

給定長度為n的整數序列，a[1...n], 求[1,n]某個子區間[i , j]使得a[i]+…+a[j]和最大.或者求出最大的這個和.例如(-2,11,-4,13,-5,2)的最大子段和為20,所求子區間為[2,4].

1.窮舉法

枚舉左右區間然后遍歷該區間求解，時間復雜度O(n³)

2.窮舉法+前綴和

在第一種方法的基礎上，預處理出前綴和，在枚舉左右區間之后，可以通過前綴和直接求解，例如求[l, r]區間的和，直接用sum[r] - sum[l - 1]求出。時間復雜度O(n²)（前綴和sum[i]表示前i位之和）

3.分治法

求解時分治，[1, n]的最大子段和只可能出現在[1, n / 2]或者[n / 2 = 1, n]或者起點位於[1, n / 2]，后者位於[n / 2 + 1, n]。就可以直接分治最大子段和。時間復雜度O(nlog(n))。

int maxsum(int *a, int x, int y)//返回左閉右開區間的最大連續和
{
    if(y - x == 1)return a[x];//只有一個元素，直接返回
    int m = (x + y) / 2;
    int maxs = max(maxsum(a, x, m), maxsum(a, m, y));//遞歸求解左右區間的最大值
    int v = 0, L = a[m - 1], R = a[m];
    //L為從分界點往左的最大連續和， R為分界點往右的最大連續和
    for(int i = m - 1; i >= x; i--)L = max(L, v += a[i]);
    v = 0;//清空之前的v
    for(int i = m; i < y; i++)R = max(R, v += a[i]);
    return max(maxs, L + R);//合並求解
}

4.動態規划法

設dp[i]為以i結尾的最大子段和，那對於dp[i]而言只有兩種情況，如果dp[i - 1] > 0, 那么dp[i] = dp[i - 1] + a[i];不然，dp[i] = a[i]，然后求出dp數組中的最大值即可。

ll dp[maxn], a[maxn];
int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        dp[i] = a[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp[i] = max(dp[i], dp[i - 1] + a[i]);
    }
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)ans = max(ans, dp[i]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

其實，可以進行空間上的優化，根本不需要dp數組，也不需要a數組，只需要兩個變量即可，一個保存我當前的和，一個保存最大和，如果當前和>最大和，更新最大和，如果當前和<0,則設置當前和 = 0；

　　cin >> n;
    ll maxsum = 0;
    ll thissum = 0;
    int x;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> x;
        thissum += x;
        if(thissum > maxsum)
        {
            maxsum = thissum;
        }
        if(thissum < 0)
        {
            thissum = 0;
        }
    }
    cout<<maxsum<<endl;

 最大子段和變形：記錄開始和結束點